Polinómio de Taylor - Qual a resolução?

[MikeBlogger]

Boas, alguém consegue resolver este problema? Desde já agradeço.

Da teoria da relatividade geral, sabemos que a massa de uma partícula depende da sua velocidade de acordo a seguinte fórmula:

\(m(v) = \frac{m0}{\sqrt{1-\frac{v^2{}}{c^2{}}}}\)

onde m0 representa a massa da partícula em repouso e c e a velocidade da luz.


1. Faça uma interpretação qualitativa da fórmula indicada, incluindo o seu dominio, assíntotas, monotonias, etc.

2. Faça uma expansão de Taylor da fórmula considerada em torno de um valor adequado ao estudo de velocidades baixas, determinando o seu dominio de validade integrado no contexto do problema.

3. Considere o polinómio de grau 2 associado ao desenvolvimento da alínea anterior. Sabendo que a energia total de uma partícula e dada por E = mc2 e que a energia cinética (associada ao movimento) e \(\frac{1}{2}m0 v^2{}\) , mostre que a energia total e aproximadamente igual a soma da energia cinética com a energia de repouso.

[Sobolev]

Relativamente à questão 2, procedendo ao desenvolvimento em torno de v = 0, teremos

\(m(v)=m_0( 1+ m'(0)v + \frac 12 m''(0)v^2 + \frac 16 m'''(0) v^3 + \frac{1}{24}f^{(4)}(\xi) v^4), \qquad \xi \in [0,v]
m(v) = m_0 (1 + \frac{v^2}{c^2} + \frac{1}{24} f^{(4)}(\xi))\)

Isto é, se considerarmos \(m(v) \approx m_0 (1 + \frac{v^2}{c^2} )\), estaremos a cometer um erro dado por

\(|m(v) - (m_0+\frac{m_0}{c^2} v^2)| = |\frac{1}{24} f^{(4)}(\xi)|\)

Calculando a quarta derivada pode ver por exemplo que para velocidades inferiores a 0.99 c o erro é majorado por \(\frac{4.63873\times 10^9}{c^4}\) que, dado valor de c, é mesmo assim um erro muito pequeno. Mesmo para valores até 99,9% da velocidade da luz tem um erro inferior a \(\frac{1.46737\times 10^{14}}{c^4} \approx 1.81156 \times 10^{-20}\). Assim, a aproximação é boa até velocidades muito perto da velocidade da luz.