Seja f:[a,b]→R uma função contínua tal que a≤ f(a) e f(b)≤b.Mostre que existe c E[a,b] tal que f(c)=c.

[Anna Menina]

Seja f:[a,b]→R uma função contínua tal que a≤ f(a) e f(b)≤b.Mostre que existe c E[a,b] tal que f(c)=c.

[Fraol]

Boa noite,

A ajuda a seguir está baseada no Teorema do Valor Intermediário, TVI, e usa uma abordagem comum para esses casos, talvez requeira uma melhora na formalização, mas vamos em frente:

Pelos dados do enunciado podemos estipular o seguinte:

\(f(a)-a \ge 0\) e \(f(b)-b \le 0\).

Pelo padrão das duas expressões somos induzidos a pensar numa outra funcão \(f(x) - x\), também contínua no intervalo \([a,b]\). Daí pelo TVI concluímos que existe ao menos um \(c\) tal que \(f(c) - c = 0\) (pois os extremos dessa função contínua possuem sinais contrários). Ou seja a função \(f(x)-x\) intercepta o eixo \(x\) em algum ponto \(x=c\) entre \(a\) e \(b\). De \(f(c)-c=0\) conclui-se que \(f(c)=c\) que é o resultado procurado.