Esboço Região Integração - Ordem Integração Invertida
24 nov 2014, 21:10
Para o exercício em anexo, esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Obrigado
Obrigado
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Re: Esboço Região Integração - Ordem Integração Invertida [resolvida]
25 nov 2014, 00:47
São duas integrais:
Uma em y: \(\int_{2}^{4-2x} {1}dy = \left [ {y} \right ]_{2}^{4-2x} = {4-2x -2} = {2-2x}\),
observe que trata-se de uma reta com inclinação -2.
Outra em x: \(\int_{0}^{1} {1}dx = \left [ {x} \right ]_{0}^{1} = {1-0} = {1}\),
Logo, integrar essa a função original é determinar a área da figura abaixo da reta \(y=2-2x\) para x indo de 0 a 1, isto é um triângulo de base 1 e altura 2, cuja área é 1.
Para inverter você poderia apenas trocar x por y e vice-versa.
Uma em y: \(\int_{2}^{4-2x} {1}dy = \left [ {y} \right ]_{2}^{4-2x} = {4-2x -2} = {2-2x}\),
observe que trata-se de uma reta com inclinação -2.
Outra em x: \(\int_{0}^{1} {1}dx = \left [ {x} \right ]_{0}^{1} = {1-0} = {1}\),
Logo, integrar essa a função original é determinar a área da figura abaixo da reta \(y=2-2x\) para x indo de 0 a 1, isto é um triângulo de base 1 e altura 2, cuja área é 1.
Para inverter você poderia apenas trocar x por y e vice-versa.
Re: Esboço Região Integração - Ordem Integração Invertida
25 nov 2014, 20:37
fraol Escreveu:Para inverter você poderia apenas trocar x por y e vice-versa.
Fraol, por favor me explique como funciona esse processo de inversão da ordem de integração (não só para este exercício mas para um caso geral).
Obrigado
Re: Esboço Região Integração - Ordem Integração Invertida
25 nov 2014, 22:38
Oi, estou certo que aqui mesmo no fórum tenhamos participantes e colaboradores mais preparados para uma explicação catedrática. De qualquer maneira vamos lá:
A ideia geral da inversão é criar uma integral mais simples de se integrar do que a original. Em geral o fazemos quando temos extremos de integração como função da(s) variável(is) de integração.
Se não me falha a memória, e como ela falha ultimamente!, para fazer a inversão a gente determina a área delimitada pelas tais funções.
Vou dar um exemplo para pensar. Suponhamos que queremos integrar uma função qualquer com os seguintes extremos:
\(\int_{0}^{1} \int_{3y}^{3} f(x,y) dxdy\)
Veja que temos as seguintes funções x=3 e x=3y (y=x/3) nos extremos da integração em x. Delimitando a área temos uma reta y=x/3 e x=3. A intersecção é o ponto (3,1).
Usando os novos limites temos que y vai de 0 a x/3. Nesse caso x vai de 0 a 3. Pronto temos a inversão:
\(\int_{0}^{3} \int_{0}^{x/3} f(x,y) dydx\)
E é só fazer a integral da f(x,y) nessa nova configuração.
A ideia geral da inversão é criar uma integral mais simples de se integrar do que a original. Em geral o fazemos quando temos extremos de integração como função da(s) variável(is) de integração.
Se não me falha a memória, e como ela falha ultimamente!, para fazer a inversão a gente determina a área delimitada pelas tais funções.
Vou dar um exemplo para pensar. Suponhamos que queremos integrar uma função qualquer com os seguintes extremos:
\(\int_{0}^{1} \int_{3y}^{3} f(x,y) dxdy\)
Veja que temos as seguintes funções x=3 e x=3y (y=x/3) nos extremos da integração em x. Delimitando a área temos uma reta y=x/3 e x=3. A intersecção é o ponto (3,1).
Usando os novos limites temos que y vai de 0 a x/3. Nesse caso x vai de 0 a 3. Pronto temos a inversão:
\(\int_{0}^{3} \int_{0}^{x/3} f(x,y) dydx\)
E é só fazer a integral da f(x,y) nessa nova configuração.
Re: Esboço Região Integração - Ordem Integração Invertida
26 nov 2014, 01:02
Fraol, ainda estou bem perdido 
Tentei resolver a integral inicial em anexo invertendo a ordem de integração e não saiu muita coisa. Veja:
Sei que y = 2 e y = 4 - 2x
Como y = 2 ----> x = 1
Aqui começam as dúvidas!
Como achar o outro valor de x para prosseguir?
Obrigado
Tentei resolver a integral inicial em anexo invertendo a ordem de integração e não saiu muita coisa. Veja:Sei que y = 2 e y = 4 - 2x
Como y = 2 ----> x = 1
Aqui começam as dúvidas!
Como achar o outro valor de x para prosseguir?
Obrigado
Re: Esboço Região Integração - Ordem Integração Invertida
27 nov 2014, 00:53
Boa noite,
Eu esbocei uma figura para ajudar a gente:
Nós queremos que a ordem de integração seja \(dxdy\) então \(y\) será a variável mais externa (com extremos constantes). Olhando para o gráfico acima vemos que irá de \(2\) até \(4\).
O \(x\) será a variável interna e variará de \(-y/2+2\) até \(1\), concorda?
Assim a integral com a ordem de integração invertida ficará assim: \(\int_{2}^{4} \int_{-y/2+2}^{1} dxdy\)
Eu esbocei uma figura para ajudar a gente:
- integ-invert.png (8.57 KiB) Visualizado 5548 vezes
Nós queremos que a ordem de integração seja \(dxdy\) então \(y\) será a variável mais externa (com extremos constantes). Olhando para o gráfico acima vemos que irá de \(2\) até \(4\).
O \(x\) será a variável interna e variará de \(-y/2+2\) até \(1\), concorda?
Assim a integral com a ordem de integração invertida ficará assim: \(\int_{2}^{4} \int_{-y/2+2}^{1} dxdy\)
Re: Esboço Região Integração - Ordem Integração Invertida
27 nov 2014, 19:19
Perfeito Fraol!
Uma imagem vale mais que mil palavras.
Muito obrigado!
Dúvida esclarecida
Uma imagem vale mais que mil palavras.
Muito obrigado!
Dúvida esclarecida