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Bom dia
Alguém me consegue ajudar a calcular a função inversa desta função, o domínio e o contradomínio da mesma (basicamente, caracterizar a inversa)

A expressão da in ersa pode, neste caso, ser obtida resolvendo em ordem a x a expressão y = f(x):

\(y = 2 \ln (e^x+1) -3 \Leftrightarrow
\ln(e^x+1) = \frac{y+3}{2} \Leftrightarrow
e^x + 1 = e^{\frac{y+3}{2}} \Leftrightarrow
e^x = e^{\frac{y+3}{2}} -1 \Leftrightarrow
x = \ln\left(e^{\frac{y+3}{2}} -1\right)\)

O domínio e contradomínio de f são \(\mathbb{R}\) e \(]-3, +\infty\), respectivemente. Assim, o domínio da inversa é \(]-3, +\infty[\) e o seu contradomínio é \(\mathbb{R}\).