Determinar o maior triangulo de vários
11 jan 2015, 18:51
Olá,
estou tentando resolver este exercício, mas não estou a conseguir. Alguma dica para resolução?
Obrigado
estou tentando resolver este exercício, mas não estou a conseguir. Alguma dica para resolução?
Obrigado
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Re: Determinar o maior triangulo de vários
11 jan 2015, 19:21
Seja \(x\) e \(y\) os dois catetos do triângulo.
Pelo que \(x>0\, \wedge \, y>0\)
Pelo Teorema de Pitágoras:
\(x^{2}+y^{2}=16\)
E a área é nos dada por:
\(A=\frac{x\times y}{2}\)
Então se, no teorema de Pitágoras resolver-mos em evidência a y:
\(y=\pm \sqrt{16-x^{2}}\)
Como \(y>0\)
\(y= \sqrt{16-x^{2}}\)
Então a Área ficará reduzida a uma incógnita:
\(A=\frac{x\times \sqrt{16-x^{2}}}{2}\)
Se colocares esta equação no gráfico da calculadora e calculares o máximo irás reparar que a Área máxima é \(4\) para quando \(x=2.828\)
Pelo que \(x>0\, \wedge \, y>0\)
Pelo Teorema de Pitágoras:
\(x^{2}+y^{2}=16\)
E a área é nos dada por:
\(A=\frac{x\times y}{2}\)
Então se, no teorema de Pitágoras resolver-mos em evidência a y:
\(y=\pm \sqrt{16-x^{2}}\)
Como \(y>0\)
\(y= \sqrt{16-x^{2}}\)
Então a Área ficará reduzida a uma incógnita:
\(A=\frac{x\times \sqrt{16-x^{2}}}{2}\)
Se colocares esta equação no gráfico da calculadora e calculares o máximo irás reparar que a Área máxima é \(4\) para quando \(x=2.828\)
Re: Determinar o maior triangulo de vários
12 jan 2015, 12:47
Obrigado pela resposta.
No entanto, tenho algumas questões:
1 - Estamos a assumir que o triangulo é retangulo, atendendo à utilização de Teorema de Pitagoras. Podemos assumir tal situação?
2 - Na resolução final, e dado que tenho de apresentar os cálculos até ao fim, temos 2 incógnitas, como será possível a resolução? Será que temos de isolar primeiro o "A" (que já a temos isolada) e noutra equação isolamos o "x" e depois fazemos a substituição? Mas creio que por este metodo, não conseguimo perceber o "máximo", certo?
Agradeço ajuda.
No entanto, tenho algumas questões:
1 - Estamos a assumir que o triangulo é retangulo, atendendo à utilização de Teorema de Pitagoras. Podemos assumir tal situação?
2 - Na resolução final, e dado que tenho de apresentar os cálculos até ao fim, temos 2 incógnitas, como será possível a resolução? Será que temos de isolar primeiro o "A" (que já a temos isolada) e noutra equação isolamos o "x" e depois fazemos a substituição? Mas creio que por este metodo, não conseguimo perceber o "máximo", certo?
Agradeço ajuda.
Re: Determinar o maior triangulo de vários [resolvida]
12 jan 2015, 20:31
1 - O enunciado fala"De todos os triângulos rectângulos de hipotenusa igual a 4". Por isso é completamente correto a utilização do teorema de pitágoras.
2- O que pretendi para resolver o exercício foi criar uma função que relaciona a área com um dos lados do triângulo, colocar de seguida na calculadora e calcular o máximo a partir do gráfico da calculadora.
\(f(x)=\frac{x\times \sqrt{16-x^{2}}}{2}\)
onde \(f(x)\) é a área em relação ao lado \(x\)
Se não podes usar a calculadora, a forma de calcular à mão é usar a derivada da função. E calcular para quando \(f'(x)=0\)
\(f'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(\frac{x\times \sqrt{16-x^{2}}}{2})=\frac{8-x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}\)
\(f'(x)=0\, \Leftrightarrow \frac{8-x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}=0\)
\({8}-x^{2}=0\; \wedge \; \sqrt{16-x^{2}}\neq {0}\)
\(x=\pm \sqrt{8}\; \wedge \; x\neq 4\)
Como\(x>0\) a área é máxima para \(x=\sqrt{8}\)
\(A=\frac{\sqrt{8}\times \sqrt{16-(\sqrt8)^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{8}\times\sqrt{8}}{2}=\frac{8}{2}=4\)
2- O que pretendi para resolver o exercício foi criar uma função que relaciona a área com um dos lados do triângulo, colocar de seguida na calculadora e calcular o máximo a partir do gráfico da calculadora.
\(f(x)=\frac{x\times \sqrt{16-x^{2}}}{2}\)
onde \(f(x)\) é a área em relação ao lado \(x\)
Se não podes usar a calculadora, a forma de calcular à mão é usar a derivada da função. E calcular para quando \(f'(x)=0\)
\(f'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(\frac{x\times \sqrt{16-x^{2}}}{2})=\frac{8-x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}\)
\(f'(x)=0\, \Leftrightarrow \frac{8-x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}=0\)
\({8}-x^{2}=0\; \wedge \; \sqrt{16-x^{2}}\neq {0}\)
\(x=\pm \sqrt{8}\; \wedge \; x\neq 4\)
Como\(x>0\) a área é máxima para \(x=\sqrt{8}\)
\(A=\frac{\sqrt{8}\times \sqrt{16-(\sqrt8)^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{8}\times\sqrt{8}}{2}=\frac{8}{2}=4\)