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alguém pode me ajudar com essa pergunda

sejam \(X\) um espaço métrico compacto e \(T:\ X -X\) tal que a distância é preservada \(d(x,y) = d(T(x), T(y))\) para todos \(x, y\) pertencente a \(X\).

Prove que \(T\) é homeomorfismo.

Lema: se X é compacto, Y é separado e f: X---->Y é bijecção contínua então f é homeomorfismo.

Por hipótese (X,d) é métrico logo é separado. A continuidade também se demonstra facilmente: se y é um ponto arbitrário de X e x(n) ----> y então d(x(n), y) -------> 0 em R e logo também d(T(x(n)), T(y)) -----> 0 em R donde T(x(n)) -----> y em X. Como X satisfaz o 1º axioma da numerabilidade é suficiente mostrar isto para N_sucessões. Portanto T é contínua.

A injectividade também é simples e vem do facto de X ser métrico.

Falta apenas a sobrejectividade! Boa sorte porque não estou a ver como isso se demonstra.

oops:

...e logo também d(T(x(n)), T(y)) -----> 0 em R donde T(x(n)) ----->T(y) em X