Cálculo de um limite com indeterminações
24 jan 2015, 12:27
Bom dia,
\(\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{1}{x}\times \frac{x^{2}-1}{x-1} \right )=^{0\times \infty }\: \lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{x^{2}-1}{x^{2}-x} \right )=^{\frac{\infty }{\infty }}\: \lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{2}}{x^{2}}=1\)
Gostava que alguém confirmasse ou corrigisse o meu raciocínio. Para chegar à indeterminação \(0\times \infty\) posso fazer um cálculo auxiliar no qual siga o procedimento \(\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{1}{x}\times \frac{x^{2}-1}{x-1} \right )=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{1}{x} \right )\times \lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{x^{2}-1}{x-1} \right )=0\times \lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{x^{2}}{x}\right )=0\times +\infty\) ?
\(\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{1}{x}\times \frac{x^{2}-1}{x-1} \right )=^{0\times \infty }\: \lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{x^{2}-1}{x^{2}-x} \right )=^{\frac{\infty }{\infty }}\: \lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{2}}{x^{2}}=1\)
Gostava que alguém confirmasse ou corrigisse o meu raciocínio. Para chegar à indeterminação \(0\times \infty\) posso fazer um cálculo auxiliar no qual siga o procedimento \(\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{1}{x}\times \frac{x^{2}-1}{x-1} \right )=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{1}{x} \right )\times \lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{x^{2}-1}{x-1} \right )=0\times \lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{x^{2}}{x}\right )=0\times +\infty\) ?
Re: Cálculo de um limite com indeterminações
24 jan 2015, 13:59
Olá bom dia. A forma de chegar à indeterminação é correta. No entanto no cálculo do limite não entendi a última passagem.
\(\frac{x^2-1}{x^2-x}\neq \frac{x^2}{x^2}\)
\(\lim _{x\rightarrow +\infty }\left (\frac{x^{2}-1}{x^2-x} \right )=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left (\frac{1}{x}+1 \right )=(0+1)=1\)
\(\frac{x^2-1}{x^2-x}\neq \frac{x^2}{x^2}\)
\(\lim _{x\rightarrow +\infty }\left (\frac{x^{2}-1}{x^2-x} \right )=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left (\frac{1}{x}+1 \right )=(0+1)=1\)
Re: Cálculo de um limite com indeterminações
24 jan 2015, 15:04
Antes de mais agradeço a resposta que me deu em relação à indeterminação 
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{x^{2}-1}{x^{2}-x} \right )=\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{2}\times \left ( 1-\frac{1}{x^{2}} \right )}{x^{2}\times \left ( 1-\frac{1}{x} \right )}=\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{2}}{x^{2}}\times \lim _{x\rightarrow +\infty }1=\lim _{x\rightarrow +\infty }1\times 1=1\)
O que eu fiz foi pôr o termo de maior grau em evidência.
Já agora, poderia explicar-me a sua resolução?
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{x^{2}-1}{x^{2}-x} \right )=\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{2}\times \left ( 1-\frac{1}{x^{2}} \right )}{x^{2}\times \left ( 1-\frac{1}{x} \right )}=\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{2}}{x^{2}}\times \lim _{x\rightarrow +\infty }1=\lim _{x\rightarrow +\infty }1\times 1=1\)
O que eu fiz foi pôr o termo de maior grau em evidência.
Já agora, poderia explicar-me a sua resolução?
Re: Cálculo de um limite com indeterminações
24 jan 2015, 20:06
Eu apenas simplifico a expressão:
\(\frac{x^{2}-1}{x^{2}-x} =\frac{x^2-1^2}{x(x-1)}=\frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x}=\frac{1}{x}+\frac{x}{x}=\frac{1}{x}+1\)
\(\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{1}{x}+1 \right )=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{1}{x}\right )+1=(0+1)=1\)
\(\frac{x^{2}-1}{x^{2}-x} =\frac{x^2-1^2}{x(x-1)}=\frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x}=\frac{1}{x}+\frac{x}{x}=\frac{1}{x}+1\)
\(\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{1}{x}+1 \right )=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{1}{x}\right )+1=(0+1)=1\)