Sistema de Equações não lineares, determinação do número de soluções existentes em um intervalo.

[Renato Filho]

Boa Noite, estou a vários meses a tentar resolver esse sistema, mas não sei ao certo se existe uma solução algébrica, não númerica para tal. Espero que me ajudem ao menos com algum material de apoio, muito obrigado.

cos(2*pi*C/x)=1
cos(2*pi*x)=1

Bem eu quero saber quantas soluções de \(1\leq x\leq C\) sendo que \(x \epsilon \mathbb{R}\) e C é uma constante.

[pedrodaniel10]

Não se se está correto mas:

Pegando na equação: \(cos(2\pi x)=1\)
O cosseno de 2π ou qualquer outro ângulo equivalente será sempre 1

Assim retira-se que \(x\in \mathbb{Z}\)

Raciocinando da mesma maneira para a outra equação:

\(cos\left (2\pi \times \frac{C}{x} )=1\Leftrightarrow \frac{C}{x}\in \mathbb{Z}\)

Então C tem de pertencer a Z e ainda tem de ser múltiplo de x de modo a que o quociente dos dois resulte num número inteiro.

\(C=p\times x,\: \: \: \: p\in \mathbb{Z}\)


Como queremos encontrar o número de soluções no intervalo \(x\in [1,C]\)
\(x\in \mathbb{N}\Rightarrow p\in \mathbb{N}\Rightarrow C\in \mathbb{N}\)

As soluções nesse intervalo vai ser x=1 x=C e todos os os números naturais entre 1 e C

Deste modo o número de soluções nesse intervalo vai ser C

Note-se que se C não for múltiplo de x então a primeira equação não vai ser verdadeira.

[pedrodaniel10]

Aliás minto. O número de soluções não pode ser C.
Visto que para qualquer valor natural que x possa tomar entre 1 e C
Esta equação: \(cos(2\pi x)=1\) será sempre verdadeira

No entanto para esta: \(cos\left (2\pi \times \frac{C}{x} )=1\) já não será o mesmo.


Sendo assim: \(\forall C\in \mathbb{N}\)
O número de soluções deste sistema irá ser o número de divisores de C
Para qual as soluções será os divisores de C

Por exemplo, se C=70

D(C)={1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70}

Nº de soluções: 8
Soluções: x={1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70}

[Renato Filho]

Boa noite Pedro eu ja havia chegado a esse resultado, mas muito obrigado por tirar seu tempo para tal. Vc sabe se ha uma solucao determinística em tempo polimomial, que me diga se existe tal resultado? Essa equacao foi feita por mim no intuito de encontrar os divisores de um numero.O grande barato dela eh encontrar valores altos por exemplo C>2^999

[Renato Filho]

Ate agora so conseguir diminuir o gasto computacional derivando a primeira equacao e igualando a zero, mas nada mais

[Renato Filho]

eu ja havia feito dessa maneira, fazendo a intercessão dos divisores de C com os naturais, mas voltei a estaca zero. Essa equacao surgiu para determinar os divisores de um numero atraves de um sistema de equacoes

[Renato Filho]

pq para resolver valores muito grandes que eh o que eu quero, eu teria que fatorar esse numero, e essa equacao teria a finalidade de tornar esse processo mais facil..

[pedrodaniel10]

Sendo assim, acredito que não tenha conhecimentos suficientes nessa parte para o ajudar.
Mas talvez tentar alguma forma de conseguir chegar à factorizarão por números primos de C. Depois o número de divisores seria mais fácil de calcular. Não sei se de alguma forma este método conseguiria reduzir o tempo e o gasto computacional.

[Renato Filho]

Saber se esse sistema tem solucao ou nao em 1 < x < C ja seria o suficiente. Com isso eu saberia se um determinado número eh primo ou nao. Eh algo ambicioso mas tlvz possa chegar a algo interessante. Com sistemas lineares isso é possivel, basta tirar o determinte do sistema,dai eh possivel saber se o sistema tem solução. Mas isso eh um sistema nao linear.. Ha soluções numéricas, ja levei a varios professores de algebra linear, cálculo, fisica matematica mas nenhum conseguiu resolver.. tentei transformada de fourier mas nada.. Se tiver uma luz me ajude, algo sobre sistemas nao lineares. Mas msm assim valeu Pedro, parabéns por ajudar o próximo, sucesso pra vc