Calculo de Integrais no volume

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Como resolver essa :S :

Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região limitada pelas seguintes curvas: 9x² + 16y² = 144

Resposta: \(64\pi\)

Estou no começo ainda :S. Se não for pedir muito, coloquem o passo a passo bem detalhado , pq ta difícil aprender

[pedrodaniel10]

Sendo uma elipse fica bem fácil.

\(r=x
A=\pi x^2
V=\pi x^2 dy\)

\(9x^2 + 16y^2 = 144\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{144-16y^2}{9}}\)

Desta forma peguemos na raiz positiva.:

\(r=\sqrt{\frac{144-16y^2}{9}}
A=\pi \left ( \sqrt{\frac{144-16y^2}{9}} \right )^2
V=\pi \left ( \sqrt{\frac{144-16y^2}{9}} \right )^2 dy\)

Agora os limites de integração basta olhar para a equação. Para a equação da elipse \(x\in [-\sqrt{16},\sqrt{16}]\) e \(y\in [-\sqrt{9},\sqrt{9}]\)

Como só nos interessa o y porque vamos integrar em função de dy:

\(V=\int_{-3}^{3}\pi \left ( \sqrt{\frac{144-16y^2}{9}} \right )^2 dy\)

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Sendo uma elipse fica bem fácil.

\(r=x
A=\pi x^2
V=\pi x^2 dy\)

\(9x^2 + 16y^2 = 144\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{144-16y^2}{9}}\)

Desta forma peguemos na raiz positiva.:

\(r=\sqrt{\frac{144-16y^2}{9}}
A=\pi \left ( \sqrt{\frac{144-16y^2}{9}} \right )^2
V=\pi \left ( \sqrt{\frac{144-16y^2}{9}} \right )^2 dy\)

Agora os limites de integração basta olhar para a equação. Para a equação da elipse \(x\in [-\sqrt{16},\sqrt{16}]\) e \(y\in [-\sqrt{9},\sqrt{9}]\)

Como só nos interessa o y porque vamos integrar em função de dy:

\(V=\int_{-3}^{3}\pi \left ( \sqrt{\frac{144-16y^2}{9}} \right )^2 dy\)

Amigo, só não entendi a parte dos limites. Teria como explicar, como vc encontrou eles? :S

[pedrodaniel10]

Provavelmente ainda não estudou as elipses.

Como está \(9x^2\) então y vai de -3 a 3
Como está \(16y^2\) então x vai de -4 a 4

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Provavelmente ainda não estudou as elipses.

Como está \(9x^2\) então y vai de -3 a 3
Como está \(16y^2\) então x vai de -4 a 4

No caso eu igualo os dois a 0, e depois faço?