Porque toda dízima períodica em forma de fração tem o denominador 9?

[Prodigy]

se voce pegar qualquer dízima períodica e tranforma-la em fração a regra é que voce use o denominador 9 (é claro que voce pode siplificar a multiplicação e mudar o denominador ) Mas no ínico a regra não muda ; voce usa um 9 , e muitas vezes não é possível simplificar... Porque essa regra existe? porque um 9? alguém poderia me explicar?

[Baltuilhe]

Bom dia!

Vou dar dois exemplos e veja se a ideia te ajuda:
\(x = 0,2323\ldots
100x = 23,2323\ldots
100x-x=(23,2323\ldots) - (0,2323\ldots)
99x=23
x=\frac{23}{99}\)

Outro exemplo:
\(x = 0,0152714271\ldots
1000x = 15,27142714\ldots
10000000x = 152714,27142714\ldots
10000000x-1000x= (152714,27142714\ldots)-(15,27142714\ldots)
9999000x=152699
x=\frac{152699}{9999000}\)

Espero que estes dois exemplos ajudem a entender o mecanismo do 'aparecimento' dos números 9 como geradores da dízima.