(raiz de 3).senx + cosx = k - 2

[brunobhc]

Olá, nao sei nem como começar essa!

Agradeço desde ja!


-Qual o maior valor inteiro de k para que a equaçao abaixo tenha soluçoes reais?

\(\sqrt{3}\) senx + cosx = k - 2

Resposta : 4

[Rui Carpentier]

Pode ser feito da seguinte maneira:

\(\sqrt{3}\sin x+\cos x=k-2\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=\frac{k-2}{2}\)
\(\Leftrightarrow \cos(\frac{\pi}{6})\sin x+ \sin(\frac{\pi}{6})\cos x=\frac{k-2}{2}\Leftrightarrow \sin(\frac{\pi}{6}+x)=\frac{k-2}{2}\)

Logo 1 é o maior valor que \(\frac{k-2}{2}\) pode tomar e portanto \(k=4\) é o maior valor para o qual a equação tem solução real.

[brunobhc]

Obrigado! Entendi... Eh soh sacar no começo, dividindo por dois! Geralmente é assim que começamos essas equaçoes? Quais são os outros tipos de artificios para esses exercicios? Dividir por 2, as vezes ja vi ter que dividir por cosx... Quais são todos os modos?

Valeeeu!

[Rui Carpentier]

"Geralmente é assim que começamos essas equaçoes?"

Pode ser mais complicado. Se quisermos maximizar uma expressão do tipo \(a\sin x +b\cos x\) usando matemática pre-universitária a melhor maneira é dividir por \(\sqrt{a^2+b^2}\). Deste modo haverá um angulo \(\alpha\) tal que \(\cos\alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\) e \(\sin\alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
Portanto \(a\sin x +b\cos x =(\cos\alpha \sin x +\sin\alpha \cos x)\sqrt{a^2+b^2}= \sin(x+\alpha )\sqrt{a^2+b^2}\leq \sqrt{a^2+b^2}\).
Isto pode ser feito de modo mais rápido usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz (geralmente aprende-se numa cadeira de Álgebra Linear):
\(a\sin x +b\cos x=\langle (a,b);(\sin x,\cos x)\rangle \leq ||(a,b)||\cdot ||(\sin x,\cos x)||=\sqrt{a^2+b^2}\)

[brunobhc]

"Geralmente é assim que começamos essas equaçoes?"

Pode ser mais complicado. Se quisermos maximizar uma expressão do tipo \(a\sin x +b\cos x\) usando matemática pre-universitária a melhor maneira é dividir por \(\sqrt{a^2+b^2}\). Deste modo haverá um angulo \(\alpha\) tal que \(\cos\alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\) e \(\sin\alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
Portanto \(a\sin x +b\cos x =(\cos\alpha \sin x +\sin\alpha \cos x)\sqrt{a^2+b^2}= \sin(x+\alpha )\sqrt{a^2+b^2}\leq \sqrt{a^2+b^2}\).
Isto pode ser feito de modo mais rápido usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz (geralmente aprende-se numa cadeira de Álgebra Linear):
\(a\sin x +b\cos x=\langle (a,b);(\sin x,\cos x)\rangle \leq ||(a,b)||\cdot ||(\sin x,\cos x)||=\sqrt{a^2+b^2}\)

Então toda vez que houver uma equacao do tipo "a.senx + b.cosx = c" a saída será dividir tudo por \(\sqrt{a^2+b^2}\) e depois usar a soma de arcos para substituir e ficar com apenas uma funcao trigonometrica, nesse caso 'senx'?

[brunobhc]

Alguém ?

[Rui Carpentier]

Então toda vez que houver uma equacao do tipo "a.senx + b.cosx = c" a saída será dividir tudo por \(\sqrt{a^2+b^2}\) e depois usar a soma de arcos para substituir e ficar com apenas uma funcao trigonometrica, nesse caso 'senx'?

Sim.

[brunobhc]

Obrigado!