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Ache os valores a e b para que f seja derivável em 1 se:
\(f(x)\binom{ x^2, se ,x<1}{ax+b ,se, 1\leq x}\)

Para ser derivável em 1 tem de ter as seguintes condições:

1. \(f'(1^-)=f'(1^+)\)
2. A função f tem de ser continua em 1 para ser derivável.

\(f'(x)=\begin{cases} 2x & \text{ se } x< 1 \\ a & \text{ se } x\geq 1 \end{cases}\)

\(f'(1^-)=f'(1^+)\:\Leftrightarrow \: 2\times1=a
a=2\)

Agora tem de se ver a continuidade nesse ponto:

\(\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)
\lim_{x\rightarrow 1^-}\left ( x^2 \right )=\lim_{x\rightarrow 1^+}\left ( 2x+b \right )
1=\:2+b
b=\:-1\)

Conclusão:
\(a=2
b=-1\)