Resolução Sistema Binomial de Newton Combinaçao

[Laerte Fernandes]

Como determino x e y tais que:\(\frac{1}{2}*\binom{x}{y-1} = \frac{1}{3}*\binom{x}{y} = \frac{1}{4}*\binom{x}{y+1}\)

[Rui Carpentier]

Sugestão: \({n \choose k}=\frac{n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdots k}=\frac{n\cdot (n-1)\cdots (n-k+2)}{1\cdot 2\cdots (k-1)}\cdot \frac{n-k+1}{k}={n \choose k-1}\cdot\frac{n-k+1}{k}\)

Usando isto consegue-se tirar as equações: \(\frac{x-y+1}{y}=\frac{3}{2}\) e \(\frac{x-y}{y+1}=\frac{4}{3}\).

[Laerte Fernandes]

Boa tarde Rui,
Resolvendo o sistema proposto por você fica:
x= 34
y = 14

E com estes valores (substituindo no sistema original das igualdades) as igualdades não são verdadeiras.

1) Calculei corretamente x e y? se sim as duas equações pode ter algum erro.

Att

[Rui Carpentier]

Resolvendo o sistema proposto por você fica:
x= 34
y = 14

Correto!

E com estes valores (substituindo no sistema original das igualdades) as igualdades não são verdadeiras.

A sério?
\(\frac{1}{2}\cdot\binom{34}{13}=\frac{1}{3}\cdot\binom{34}{14}=\frac{1}{4}\cdot\binom{34}{15} \Leftrightarrow \frac{34!}{2\cdot 13!\cdot 21!}=\frac{34!}{3\cdot 14!\cdot 20!}=\frac{34!}{4\cdot 15!\cdot 19!}\Leftrightarrow \frac{1}{2\cdot 13!\cdot 21\cdot 20\cdot 19!}=\frac{1}{3\cdot 14\cdot 13!\cdot 20\cdot 19!}=\frac{1}{4\cdot 15\cdot 14\cdot 13!\cdot 19!}\Leftrightarrow\) \(\Leftrightarrow \frac{1}{2\cdot 21\cdot 20}=\frac{1}{3\cdot 14\cdot 20}=\frac{1}{4\cdot 15\cdot 14}\Leftrightarrow \frac{1}{840}=\frac{1}{840}=\frac{1}{840}\)
What's the problem?

[Laerte Fernandes]

Perfect! Obrigado