Dúvida sobre resolução de um limite

[cristianoluiz]

Estou a tentar resolver uma questão, porem creio que esteja a cometer erros, olhe:

\(\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{2 - x^{2}} - 1 }{x - 1}\)

Eu multiplico o de cima dividindo por ele mesmo e aplico a distributiva em ambos ate chegar a

\(\frac{2 - x^{2} - 2\sqrt{2 - x^2} + 1}{x\sqrt{2 - x^2} - x - \sqrt{2 - x^2} + 1}\)

Porem não sai disso, estou resolvendo isso de forma errada, porem não enxergo outro modo.Se alguem puder me explicar qual o metodo correto seria de grande valia.

ps: o resultado disso tem que dar -1, pelo menos é o que deu no geogebra

[GrangerObliviate]

Olá Cristiano!

Estás a ir por uma resolução demasiado complexa. O truque aqui é fazer uma mudança de variável. se x tende para 1 então x-1 tende para zero.
Fazendo y= x-1 (logo x=y+1)

Fica

\(\lim_{y\rightarrow 0} \frac{\sqrt{2-(y+1)^2 }-1}y\)

Resolves o caso notável da multiplicação (quadrado do binómio) e depois das devidas simplificações chegas a uma coisa do género

\(\lim_{y\rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-2y-y^2 }-1}y\)

Ora bem, isto que tens dentro da raiz é nada mais nada menos do que outro quadrado do binómio que vais calcular "ao contrário". 1 - 2y - y^2 = (1-y)^2
Cortas a raiz com o quadrado e depois das devidas simplificações vais ficar com

\(\lim_{y\rightarrow 0} -1\)

Que dá então -1 que é o resultado esperado!

Espero ter ajudado! Bom estudo!

[Fraol]

Olá, cristianoluiz.

Veja como desenvolvi:

Comecei multiplicando em cima e em baixo pelo conjugado do de cima (numerador):
\(\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{2 - x^{2}} - 1 }{x - 1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{2 - x^{2}} - 1 }{x - 1} \times \frac{\sqrt{2 - x^{2}} + 1 }{\sqrt{2 - x^{2} + 1}\)

Aí ficamos com uma diferença de quadrados em cima:
\(= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1-x^2}{(x-1)(\sqrt{2 - x^{2}} + 1)}\)

Que pode ser desemembrada em um produto:
\(= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(1-x)(1+x)}{(x-1)(\sqrt{2 - x^{2}} + 1)}\)

Agora, um truquezinho, multiplicamos cada um dos dois fatores em cima por -1 pois (-1)(-1) = +1.
\(= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(-1-x)}{(x-1)(\sqrt{2 - x^{2} }+ 1)}\)

E cancelamos o fator comum ao numerador e denominador:
\(= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(-1-x)}{(\sqrt{2 - x^{2} }+ 1)}\)

Agora levando ao limite chegará na resposta desejada.