Qual é a a derivada de ordem n de f (x)= √x?

[Barbaraluz]

Qual é a derivada de ordem n de f (x)= √x?

[VictorFPS]

Vamos lá! Tendo como base a definição de derivada, em que \(f(x)= x^n\), sua derivada será \(f'(x)= n\cdot x^{n-1}\). Assim, como sabemos, podemos representar \(\sqrt{x}\) como \(x^{\frac{1}{2}}\), como demonstra uma das propriedades de potenciação. Portanto, para achar a derivada de \(f(x)=\sqrt{x}\), faremos os seguintes cálculos:

\(f'(x)= x^{\frac{1}{2}}\)

\(f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}\) Fazendo o cálculo da fração do expoente

\(f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1-2}{2}}\)

\(f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{-1}{2}}\)

Como o expoente de x acima é negativo, podemos inverter x e transformar seu expoente em positivo. Assim:

\(f'(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\)

Transformamos o termo \(x^{\frac{1}{2}}\) em \(\sqrt{x}\) novamente e multiplicamos:

\(f'(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}\)

\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) Esta é a derivada que procura.

Espero ter ajudado! Qualquer dúvida deixe aqui no fórum!

[Estudioso]

Victor, essa não é a derivada que ela procura.

Ela quer a derivada de ordem n.

Logo, terá que calcular a derivada de segunda ordem, de terceira ordem, e verificar que existe um padrão matemático envolvido no cálculo das derivadas subsequentes. Basta generalizá-lo para a derivada de ordem n.