Oi, creio que podemos demonstrar da seguinte forma (talvez tenha que organizar um pouco o algebrismo):
Vamos assumir que os vetores estão referenciados em uma origem O. Também vou omitir as setas sobre os segmentos para indicar os vetores.
cloud460 Escreveu:No triangulo ABC, D eh ponto medio de BC. O ponto E, de AC, eh tal que AE=mEC. Calcule m para que os vetores v=DE e w=BA+CA+2BC fiquem paralelos.
\(w=BA+CA+2BC = OA - OB + OA - OC + 2(OC - OB)\) então \(w = 2OA -3OB + OC\)
\(AE = OC - OA - EC\) . Como \(EC = \frac{OC}{m+1} - \frac{OA}{m+1}\) então \(AE = OC - OA - \frac{OC}{m+1} + \frac{OA}{m+1}\)
\(OE = OA + AE = OA + OC - OA - \frac{OC}{m+1} + \frac{OA}{m+1}\)
\(v = DE = OE - OD = OE - \frac{OB+OC}{2}\)
\(v = DE = OE - OD = OC - \frac{OC}{m+1} + \frac{OA}{m+1} - \frac{OB+OC}{2}\). Agora arrumando um pouco:
\(v = \frac{OA}{m+1} -\frac{OB}{2} + \frac{(m-1)OC}{2(m+1)}\)
O exercício diz que \(v\) e \(w\) devem ser paralelos, isto é, \(w = \alpha v\) para algum \(\alpha\).
Então podemos fazer as seguintes igualdades:
\(2OA = \alpha \frac{OA}{m+a}; -3OB= -\alpha \frac{OB}{2}; OC = \alpha \frac{(m-1)OC}{2(m+1)}.\)
(errata: onde está \(m+a\) na primeira igualdade acima leiam \(m+1\))
Da segunda igualdade sai \(\alpha = 6\). Substituindo na primeira sai que \(m = 2\) que resolve a questão.
Por favor, dá uma olhada nos passos e se lgo não estiver claro manda pra cá pra gente tentar elucidar.