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Para a função abaixo, faça uma análise completa,
explicitando domínio, limites no infinito, crescimento, decrescimento, extremos relativos (caso
existam), concavidade e pontos de inflexão (caso existam), e, por fim, faça um esboço do
gráfico desta função baseando-se nas características solicitadas.

\(y=-x^3+9x^2-15x\)

Qual é exactamente a dúvida? Partilhe o que já conseguiu fazer...

Consegui fazer os limites no infinito - infinito e + infinito
Dominio - |R
A derivada
A derivada segunda
Ponto estacionário
Não sei fazer os extremos relativos , concavidade e pontos de inflexão...

1. Extremos relativos. Como esta função está definida em toda a recta real e é diferenciável, os extremos relativos (Máximos ou mínimos) apenasm podem ocorrer em pontos onde a derivada seja nula (pontos estacionários). Assim, como a derivada apenas se anula para x=1 e x=5, apenas estes pontos poderão ser extremos relativos. Se fizer um quadro de variação de sinal para a função derivada, verá que x=1 é mínimo relativo (a derivada passa de negativa a positiva) e x=5 é máximo relativo (derivada passa de positiva a negativa).

2. Concavidade e pontos de inflexão. A concavidade está relacionada com o sinal da segunda derivada, quado a segunda derivada é positiva a concavidade esta "virada para cima" e quando a segunda derivada é negativa a concavidade está "virada para baixo". os pontos de inflexão são os pontos onde a segunda derivada muda de sinal. Neste caso a segunda derivada anula-se em x=2, sendo positiva para x<2 (conc. virada para cima) e negativa para x>2 (conc. virada para baixo). Tem um único ponto de inflexão, x=2.

Obrigado!! ...e como faço para encontrar as raizes daquela outra função que postei? ...\(y=\frac{x^2}{x^2-4}\)

Um quociente é nulo apenas se o numerador for nulo. Assim, a função que menciona apenas se anula quando x = 0.