Sol. EDO linear de ordem 2 e coef. constantes

[josageof]

Prezados,

estou precisando da solução da seguinte EDO: \({y}''+ 4{y}' = x^{2} + 3e^{x}\). Alguém pode ajudar?

estive tentando pelo metodo dos coef. independentes, porém não consegui calcular os coeficientes da sol. particular, que imagino ser \(y_{P} = C_{1}x^{3} + C_{2}x^{2} + C_{3}x + Ae^{x}\).

Obrigado,

Coutinho

[Sobolev]

Mas é esse mesmo o caminho... A sol. particular é

\(y_P(x)=\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{16}+\frac{x}{32}+\frac{3 e^x}{5}\)

[josageof]

Muito obrigado Sobolev,

se estou no caminho certo, precisaria resolver então os coeficientes na expressão algébrica \(2C_{2} + 4C_{3} + 6C_{1}x + 8C_{2}x + 12C_{1}x^{2} + 5Be^{x} = x^{2} + 3e^{x}\), todavia não sei como proceder.

Coutinho

[Sobolev]

A ideia é que havendo em certo sentido um independencia linear da exponencial e do polinómio, o cálculo dos coeficientes pode ser feito igualando em ambos os lados da equação os coeficentes das potências correspondentes de x, assim como o coeficiente da exponencial. Assim terá,

\(2C_2+4C_3 =0
6C_1+8C_2=0
12C_1=1
5B =3\)