Fórum de Matemática
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Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da
fabricação de x reproduções (manuais) de uma estante em madeira de demolição é dado por
\(C(x)=x^3-3x^2-20x+100\). Cada estante é vendida por R$ 2.500,00. Assinale a alternativa
que traz qual a produção semanal que maximizará o lucro do fabricante e qual o máximo
lucro semanal possível para esta fabricação de estantes.

(a) 30 estantes e 51.200 reais de lucro.
(b) 28 estantes e 50.860 reais de lucro.
(c) 30 estantes e 98.800 reais de lucro.
(d) 28 estantes e 93644 reais de lucro.
(e) 28 estantes e 89140 reais de lucro.

Boa tarde!

Fórmula para venda:
\(V(x){=}2500x\\
C(x){=}x^3-3x^2-20x+100\\
L(x){=}V(x)-C(x)\\
L'(x){=}V'(x)-C'(x)\\
L'(x){=}2500-(3x^2-6x-20)\\
L'(x){=}-3x^2+6x+2520\\
L'(x){=}0\\
-3x^2+6x+2520{=}0\\
x^2-2x-840{=}0\\
\Delta=(-2)^2-4(1)(-840)\\
\Delta=4+3360=3364\\
x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{3364}}{2(1)}\\
x=\frac{2\pm{58}}{2}\\
x'=\frac{2+58}{2}=30\\
x''=\frac{2-58}{2}=-28\)

Como a derivada da função lucro é uma parábola com a concavidade para baixo temos que:
x<-28 ==> derivada negativa ==> função Lucro DECRESCENTE
x = -28 ==> ponto de MÍNIMO
-28<x<30 ==> derivada positiva ==> função Lucro CRESCENTE
x = 30 ==> ponto de MÁXIMO
x>30 ==> derivada negativa ==> função Lucro DECRESCENTE

Então, o lucro máximo se dá com x=30
\(L(30)=V(30)-C(30)\\
L(30)=2500(30)-[(30)^3-3(30)^2-20(30)+100]\\
L(30)=75000-(27000-2700-600+100)=75000-(23800)\\
L(30)=51200\)

Letra a)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles