Derivada da função pela propriedade

[Dy Souza Silva]

Galera, me ajudem aí urgente, tenho prova amanhã... Derivada da função f(x) = 1/ x+1 pela propriedade e só pra tirar a dúvida, quem souber faz pela definição também. Desde já obrigado.

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Pela regra:
\(f(x)=\frac{1}{x+1}
f'(x)=\frac{(1)'\cdot(x+1)-(1)\cdot(x+1)'}{(x+1)^2}
f'(x)=\frac{0\cdot(x+1)-1\cdot(1)}{(x+1)^2}
f'(x)=\frac{-1}{(x+1)^2}\)

Pela definição:
\(f'(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
f'(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x_0+1}}{x-x_0}
f'(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{\frac{x_0+1-(x+1)}{(x+1)(x_0+1)}}{x-x_0}
f'(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{\frac{x_0-x}{(x+1)(x_0+1)}}{x-x_0}
f'(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{\frac{-(x-x_0)}{(x+1)(x_0+1)}}{x-x_0}
f'(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{-1}{(x+1)(x_0+1)}
f'(x)=\frac{-1}{(x+1)(x+1)}=\frac{-1}{(x+1)^2}\)

Espero ter ajudado!