Desenho Geométrico Triangulo conhecendo um lado, angulo oposto e a razão dos outros lados
27 nov 2015, 23:55
Resolver problema de construção de triangulo
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Re: Desenho Geométrico Triangulo conhecendo um lado, angulo oposto e a razão dos outros lados
28 nov 2015, 15:33
Bom dia!
Vou deixar a resposta em forma de desenho (e explicação).
Espero que entenda
Vou deixar a resposta em forma de desenho (e explicação).
Espero que entenda
Re: Desenho Geométrico Triangulo conhecendo um lado, angulo oposto e a razão dos outros lados
28 nov 2015, 16:35
Esse triângulo é retângulo, mas conhecido como triangulo 3, 4 e 5.
onde:
a = 4 cateto oposto ao angulo \(\alpha\), 3 cateto adjacente e 5 hipotenusa )
\(\alpha\) = cateto adjacente / hipotenusa = 3/5
onde:
a = 4 cateto oposto ao angulo \(\alpha\), 3 cateto adjacente e 5 hipotenusa )
\(\alpha\) = cateto adjacente / hipotenusa = 3/5
Re: Desenho Geométrico Triangulo conhecendo um lado, angulo oposto e a razão dos outros lados
28 nov 2015, 18:42
Boa tarde!
Jorge, você está equivocado com relação à afirmação de que o triângulo é retângulo.
Este triângulo, realmente, PODERIA ser retângulo caso o ângulo alfa dado fosse \(\alpha=\arccos{\left(\frac{3}{5}\right)}\approx{53^{\circ}7'}.\)
Na verdade este ângulo alfa pode ser qualquer valor maior do que 0º e menor do que 180º.
Espero ter ajudado!
Jorge, você está equivocado com relação à afirmação de que o triângulo é retângulo.
Este triângulo, realmente, PODERIA ser retângulo caso o ângulo alfa dado fosse \(\alpha=\arccos{\left(\frac{3}{5}\right)}\approx{53^{\circ}7'}.\)
Na verdade este ângulo alfa pode ser qualquer valor maior do que 0º e menor do que 180º.
Espero ter ajudado!
Re: Desenho Geométrico Triangulo conhecendo um lado, angulo oposto e a razão dos outros lados
29 nov 2015, 02:58
corrigindo...
cos \(\alpha\) = 3/5
Baltuilhe,
acredito que dessa vez você esteja enganado, pois, se a questão afirma que a razão entre os outros dois lados é 3/5, quaisquer que sejam seus valores serão proporcionais a essas medidas, além disso, a afirmação de que a é oposto ao angulo \(\alpha\) deixa claro a existência de um lado adjacente ao angulo \(\alpha\) e uma hipotenusa. Se usarmos o teorema de pitágoras verificamos o pressuposto, veja:
3/5 = 6/10 = 9/15 = 12/20 = ... = 0,6
52 = a2 + 32
a = 4
102 = a2 + 62
a = 8
152 = a2 + 92
a = 12
202 = a2 + 122
a = 16
resumindo o lado a sempre será obtido por pitágoras e o ângulo \(\alpha\) sempre será a razão entre um dos catetos e a hipotenusa.
de outra forma, com que finalidade a questão me daria a razão entre dois lados e um ângulo, a não ser para descobrir o terceiro lado e valor desse ângulo.
cos \(\alpha\) = 3/5
Baltuilhe,
acredito que dessa vez você esteja enganado, pois, se a questão afirma que a razão entre os outros dois lados é 3/5, quaisquer que sejam seus valores serão proporcionais a essas medidas, além disso, a afirmação de que a é oposto ao angulo \(\alpha\) deixa claro a existência de um lado adjacente ao angulo \(\alpha\) e uma hipotenusa. Se usarmos o teorema de pitágoras verificamos o pressuposto, veja:
3/5 = 6/10 = 9/15 = 12/20 = ... = 0,6
52 = a2 + 32
a = 4
102 = a2 + 62
a = 8
152 = a2 + 92
a = 12
202 = a2 + 122
a = 16
resumindo o lado a sempre será obtido por pitágoras e o ângulo \(\alpha\) sempre será a razão entre um dos catetos e a hipotenusa.
de outra forma, com que finalidade a questão me daria a razão entre dois lados e um ângulo, a não ser para descobrir o terceiro lado e valor desse ângulo.
Re: Desenho Geométrico Triangulo conhecendo um lado, angulo oposto e a razão dos outros lados
29 nov 2015, 03:15
Boa noite!
Jorge, veja os exemplos abaixo:
a=3
b=3
c=5
Então, temos um triângulo com dois lados iguais a 3, e existem os lados b e c na proporção de 3:5, certo?
Calculemos o ângulo oposto ao lado a (já que o ângulo alfa está entre os lados b e c, ok?)
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)\\
\cos(\alpha)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\
\cos(\alpha)=\frac{3^2+5^2-3^2}{2(3)(5)}\\
\cos(\alpha)=\frac{25}{30}\\
\alpha\approx{33,6^{\circ}}\)
Poderíamos ter também o seu triângulo, claro:
a=4
b=3
c=5
O ângulo alfa seria, pela lei dos cossenos:
\(\cos(\alpha)=\frac{3^2+5^2-4^2}{2(3)(5)}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}\)
Ou diretamente, sabendo-se tratar de um triângulo retângulo:
\(\cos(\alpha)=\frac{3}{5}\\
\alpha\approx{53,13^{\circ}}\)
Outro exemplo (último):
a=5
b=3
c=5
Aqui teremos (faça as contas) o ângulo alfa igual a:
\(\cos(\alpha)=\frac{3}{10}
\alpha\approx{72,54^{\circ}}\)
Se analisar, o lado a está na seguinte faixa de valores:
5-3<a<5+3
2<a<8
Não se convenceu?
Deixo aqui também os desenhos, claro!
Espero ter ajudado (e esclarecido)!
Obrigado por sempre colaborar! Abraços!
Jorge, veja os exemplos abaixo:
a=3
b=3
c=5
Então, temos um triângulo com dois lados iguais a 3, e existem os lados b e c na proporção de 3:5, certo?
Calculemos o ângulo oposto ao lado a (já que o ângulo alfa está entre os lados b e c, ok?)
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)\\
\cos(\alpha)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\
\cos(\alpha)=\frac{3^2+5^2-3^2}{2(3)(5)}\\
\cos(\alpha)=\frac{25}{30}\\
\alpha\approx{33,6^{\circ}}\)
Poderíamos ter também o seu triângulo, claro:
a=4
b=3
c=5
O ângulo alfa seria, pela lei dos cossenos:
\(\cos(\alpha)=\frac{3^2+5^2-4^2}{2(3)(5)}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}\)
Ou diretamente, sabendo-se tratar de um triângulo retângulo:
\(\cos(\alpha)=\frac{3}{5}\\
\alpha\approx{53,13^{\circ}}\)
Outro exemplo (último):
a=5
b=3
c=5
Aqui teremos (faça as contas) o ângulo alfa igual a:
\(\cos(\alpha)=\frac{3}{10}
\alpha\approx{72,54^{\circ}}\)
Se analisar, o lado a está na seguinte faixa de valores:
5-3<a<5+3
2<a<8
Não se convenceu?
Deixo aqui também os desenhos, claro!
Espero ter ajudado (e esclarecido)!
Obrigado por sempre colaborar! Abraços!
Re: Desenho Geométrico Triangulo conhecendo um lado, angulo oposto e a razão dos outros lados
29 nov 2015, 04:02
Baltuilhe,
acredito não fazer sentido \(\Delta\) isósceles nessa questão, uma vez subentendido a existência de 3 lados distintos ax, 3x, 5x. Assim como, a existência de um ângulo \(\alpha\) obtido através desse mesmo \(\Delta\). Todavia, sua verificação está correta.
Espero que o autor da questão ratifique o raciocínio e a resolução.
Baltuilhe,
Admiro seu modo de ver as questões e testificá-las através de provas e demonstrações.
Mas, algumas questões são dedutíveis e às vezes fáceis de saber a pretensão do autor. Acredito que nesta questão, em particular, o autor queira que o aluno enxergue pitágoras e as relações básicas de trigonometria.
De qualquer forma te agradeço pelas verificações.
Abraço meu amigo.
acredito não fazer sentido \(\Delta\) isósceles nessa questão, uma vez subentendido a existência de 3 lados distintos ax, 3x, 5x. Assim como, a existência de um ângulo \(\alpha\) obtido através desse mesmo \(\Delta\). Todavia, sua verificação está correta.
Espero que o autor da questão ratifique o raciocínio e a resolução.
Baltuilhe,
Admiro seu modo de ver as questões e testificá-las através de provas e demonstrações.
Mas, algumas questões são dedutíveis e às vezes fáceis de saber a pretensão do autor. Acredito que nesta questão, em particular, o autor queira que o aluno enxergue pitágoras e as relações básicas de trigonometria.
De qualquer forma te agradeço pelas verificações.
Abraço meu amigo.
Re: Desenho Geométrico Triangulo conhecendo um lado, angulo oposto e a razão dos outros lados
29 nov 2015, 18:06
dressa_mw Escreveu:Resolver problema de construção de triangulo
Seja a² = b² + c² - 2.b.c.cos q, com a e q conhecidos.
Sabemos também que b/c = 3/5
Assim, a² = 9c²/25 + c² - 2.3c²/5.cos q
Daí, c² = 2,5a²/(17/5 - 3.cosq)
Como a e q são conhecidos, então determinamos c, e, em seguida, determinamos b.
Se q = 90 e a = 10, então c = 8,575 e b = 5,145
Re: Desenho Geométrico Triangulo conhecendo um lado, angulo oposto e a razão dos outros lados
29 nov 2015, 21:16
Boa tarde!
ProfessorHelio, obrigado pela contribuição!
Foi interessante isolar um dos lados em função do lado dado e assim resolver o sistema!
Mas algo importante a ser levado em consideração sobre esta questão é que ela é de desenho geométrico, ou seja, é para resolver desenhando, mesmo!
A solução algébrica não seria uma solução válida para este problema!
Me utilizei do algebrismo para mostrar ao colega JorgeLuiz que a solução por ele apresentada não estaria correta a não ser que o ângulo fosse o que apresentei, 53 graus e pouco.
Abraços! E obrigado!
ProfessorHelio, obrigado pela contribuição!
Foi interessante isolar um dos lados em função do lado dado e assim resolver o sistema!
Mas algo importante a ser levado em consideração sobre esta questão é que ela é de desenho geométrico, ou seja, é para resolver desenhando, mesmo!
A solução algébrica não seria uma solução válida para este problema!
Me utilizei do algebrismo para mostrar ao colega JorgeLuiz que a solução por ele apresentada não estaria correta a não ser que o ângulo fosse o que apresentei, 53 graus e pouco.
Abraços! E obrigado!
Re: Desenho Geométrico Triangulo conhecendo um lado, angulo oposto e a razão dos outros lados
30 nov 2015, 19:42
Baltuilhe Escreveu:Bom dia!
Vou deixar a resposta em forma de desenho (e explicação).
Espero que entenda
eu posso determinar essa proporção traçando uma reta r e uma reta s oblíqua à r, marcar segmentos proporcionais em s e transpô-los à r?
Segue imagem para visualização.
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