Probabilidade numa amostra aleatória numa fábrica

[RAFAEL RIBEIRO]

UM ENGENHEIRO RECOLHE UMA AMOSTRA ALEATÓRIA DE 100 INTERRUPTORES DE UM LOTE DE 10.000. SUPONHA (SEM QUE O ENGENHEIRO SAIBA) QUE 7% DOS INTERRUPTORES DO LOTE APRESENTA ALGUM DEFEITO. O ENGENHEIRO CONTA O NÚMERO DE “ X “ INTERRUPTORES DEFEITUOSOS NA AMOSTRA.
DETERMINE A PROBABILIDADE DE NO MÁXIMO 2 INTERRUPTORES NÃO SEREM APROVADOS.
DESDE JÁ AGRADEÇO.

[João P. Ferreira]

Repare então que dos 100 interruptores, 7 deles (7% em 100) têm defeito.

Eu presumo dessa sua frase
"DETERMINE A PROBABILIDADE DE NO MÁXIMO 2 INTERRUPTORES NÃO SEREM APROVADOS."
que se refira ao caso de chumbarem no máximo 2 interruptores.

Assim sendo o que quer é a probabilidade de

\(P(A)+P(B)+P(C)\) em que

A - é o evento em que nenhum é chumbado
B - é o evento em que um é chumbado
C - é o evento em que dois são chumbado

Então se tirar um interruptor (\(X=1\)) a probabilidade é 1 (100%) pois A e B são complementares

Se \(X=2\) a probabilidade também é 100% ("chumbarem no máximo dois interruptores")

Para \(X>2\) que é o que interessa

terá que deduzir

\(P(A)+P(B)+P(C)\)

para cada valor de X

Por exemplo para \(X=3\)

veja que o evento \(A\) (dos 3 nenhum ser chumbado) é dado pelo facto de que (presumo eu)
se 7 estão avariados, 93 estão bons; mas quando tiro um bom, sobram só 99 dos quais 92 estão bons e daí sucessivamente (presumo ser este o raciocínio)

\(P(A)=\frac{93}{100}\times\frac{92}{99}\times\frac{91}{98}\)

Para \(B\) (um ser chumbado) tem de considerar os três casos, em que o primeiro, o segundo ou o terceiro são chumbados

Assim (acho que é isto)

\(P(B)=\frac{7}{100}\times\frac{93}{99}\times\frac{92}{98}+\frac{93}{100}\times\frac{7}{99}\times\frac{92}{98}+\frac{93}{100}\times\frac{92}{99}\times\frac{7}{98}\)

o raciocínio é este

Cumprimentos

[FernandoMartins]

Olá Rafael Ribeiro

É provável que a esta altura não te interesse esta resolução, mas se der jeito a alguém eis aqui a resolução correcta:

X=v.a. que mede o n.º de interruptores defeituosos numa amostra de n=100, de uma população onde se sabe existirem 7% defeituosos.

Tem-se que \(X\sim Binomial(n=100;p=0.07)\) e \(P\left ( X=x \right )=\binom{n}{x}p^{x}\left ( 1-p \right )^{n-x}\)

Logo a probabilidade em questão, é dada por:

\(P\left ( X\leq 2 \right )=P\left ( X=0 \right )+P\left ( X=1 \right )+P\left ( X=2 \right )=\binom{100}{0}0.07^{0}0.93^{100}+\binom{100}{1}0.07^{1}0.93^{99}+\binom{100}{2}0.07^{2}0.93^{98}=0.02578854128\simeq 0.026\)