Fórum de Matemática
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Se n = 3 (é a ordem da matriz) e A uma matriz não singular com autovalores \(r_{1},r_{2}\) e \(r_{3}\), com \(r_{1}<r_{2}<r_{3}.\)

Se \(r_{1} = 1\) e traço (A) = det = (A) = 6, então \(\frac{r2}{r1} - r3 = -2\)

Como saber se essa afirmação é verdadeira ou falsa?

Fiz o item anterior mas com matriz de ordem 2x2 e achei os autovalores, já que o polinômio característico de ordem 2 é \(\lambda ^{2}\) - traço (A) + det (A) = 0

Como proceder em matriz de ordem 3 ?

Existe um teorema que diz:
Se uma matriz A tem como valores próprios \(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n\)
\(\det(a)=\lambda _1\cdot \lambda _2\cdot ...\cdot \lambda _n
tr(A)=\lambda _1+\lambda _2+...+\lambda _n\)

Desta forma, se tr(A)=det(A)=6
\(r_1+r_2+r_3=r_1\cdot r_2\cdot r_3=6\)

E como \(r_1=1\), vem:

\(r_2=2
r_3=3\)

Logo a afirmação é falsa.