Fórum de Matemática
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Seja D:V →V o operador linear que associa a cada polinômio f(x) ∊ V sua derivada f'(x).
Encontre a matriz que representa o operador D na base beta \(\beta \left \{ 1,x,x^{2},...,x^{n-1} \right \}\)
Então como encontrar o nucleo e a imagem dessa matriz?
Vi essa resolução mas não sei como fazer...
A matriz é mais ou menos assim (faltou uns pontinhos)
\(\begin{bmatrix} 0& 1& 0& 0&\\ .& 0& 2& .& \\ .& .& 0& .& \\ .& .& .& n-1& \\ 0& 0& 0& 0\\ \end{bmatrix}\)

Se A for essa matriz então:
-D é injetiva → NucD={0} →dimNucD=0 → n(A)=0 → c(A)=nº colunas de A = DimV
Ora como a primeira coluna da matriz é nula, A tem nulidade 1 ≠ 0 logo não´é injetiva

-D é sobrejetiva → dim ImD=dimV → c(A)=nr linhas A= dimV
Como a matriz A é uma matriz nxn e tem característica n-1≠n, então D não é sobrejetiva

O núcleo de um operador corresponde aos elementos do espaço de partida que se transformam no elemento nulo no espaço de chegada. Assim, neste caso, o núcleo será constituído por todos os polinómios de grau menor ou igual que n cuja derivada é identicamente nula. O núcleo é pois constituído pelos polinómios de grau zero (constantes).

Por outro lado, como qualquer polinómio de grau (n-1) pode ser escrito como a derivada de um polinómio de grau n (uma sua primitiva), vemos que a imagem do operador é justamente o espaço dos polinómios de grau menor ou igual que (n-1) (que é um subespaço do espaço dos polinómios de grau menor ou igual que n).