escrever função como série de potências

[Pedro Antunes]

Considere a função \(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\)
Escreva f como série de potências, indicando o domínio de convergência. Obrigado!

[Sobolev]

\(\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n \ge 0} (-x^2)^n = \sum_{n \ge 0} (-1)^n x^n\)

O dom ínio de convergência absoluta é dado pela condição \(|-x^2|<1\), isto é, \(x\in ]-1,1[\). Quando x=-1,1 a série diverge (o termo geral não é um infinitésimo), pelo que a série é divergente em \(]-\infty, 1-1] \cup [1, +\infty[\).