Fórum de Matemática
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Em certa cidade, o número de habitantes empregados é dado pela função t(x) = 500x + 6.000, onde x representa o
número de empresas ativas na cidade. Atualmente, 80% da população está empregada. Sabe‐se que se 20% das
empresas ativas fecharem, o total de habitantes empregados cairá para 65%. Sendo assim, o número de habitantes
dessa cidade é
A) 100.000.     B) 110.000.     C) 120.000.     D) 130.000.

Boa tarde!

Temos um total de X empresas ativas funcionando e que 80% da população (P) está empregada. Então:
\(t(X)=500X+6000
t(X)=80\%\cdot{T}\)

Se o total de empresas ativas cair 20% teremos X - 20%X = 80%X empresas. Então a população empregada cairá para 65% da população total.
\(t(80\%X)=500(80\%X)+6000
t(80\%X)=65\%T\)

Temos o seguinte sistema:
\(\begin{cases}
500X+6000=80\%\cdot{T}
500(80\%\cdot{X})+6000=65\%\cdot{T}
\end{cases}\)

Subtraindo a primeira da segunda:
\(500(20\%\cdot{X})=15\%\cdot{T}
500\cdot 0,20\cdot X=0,15\cdot T
100X=0,15T
X=\frac{0,15}{100}T\)

Substituindo na primeira:
\(500(\frac{0,15}{100}T)+6000{=}80\%\cdot{T}
0,75T+6000{=}0,8T
0,05T{=}6000
T{=}\frac{6000}{0,05}{=}120000\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

n de habitantes empregados: t(x) = 500x + 6.000
n de empresas ativas: x

população empregada hoje: 80% = t(x)

se,
20% de x fecharem, então, população empregada cai para 65%

\(\frac{500x+6000}{80%} = \frac{500.0,8.x+6000}{65%}\)
\(x = 180\)

\(t(x) = 500x + 6.000
t(180) = 96000\)

logo,
\(\frac{80%}{96000} = \frac{100%}{p}\)
\(p = 120000\)

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

80%.P = 500x + 6000, ou seja, x = (0,8.P - 6000)/500
O novo x será --> 0,8.(0,8.P - 6000)/500 = (0,64P - 4800)/500
Assim, 65%.P = 500.(0,64P - 4800)/500 + 6000
P = 120000