Números Complexos condicinado em Potências

[everton_stark]

Saudações à todos!

Estudando sobre o assunto cheguei a um exercício que pede o seguinte: Seja 'z' um número complexo tal que z = 2 + i2√3, z³ corresponde a que valor?

Bom no começo tentei colocar: (2 + i2√3)x(2 + i2√3)x(2 + i2√3), mas não bateu com a resposta do gabarito. Em seguida pesquisando na internet achei uma fórmula que dizia que para z³ teríamos: (a³ - 3ab²) + (3a²b - b³)i, mas também não consegui chegar a resposta do gabarito. A resposta que consta aqui é que o resultado é: 512 - i512√3.

[pedrodaniel10]

\(z=2+2\sqrt{3}\, i=4\, cis\left ( \frac{\pi }{3} \right )
z^3=4^3\, cis\left ( 3\cdot \frac{\pi }{3} \right )=64\, cis(\pi)=-64\)

[professorhelio]

Saudações à todos!

Estudando sobre o assunto cheguei a um exercício que pede o seguinte: Seja 'z' um número complexo tal que z = 2 + i2√3, z³ corresponde a que valor?
Bom no começo tentei colocar: (2 + i2√3)x(2 + i2√3)x(2 + i2√3), mas não bateu com a resposta do gabarito. Em seguida pesquisando na internet achei uma fórmula que dizia que para z³ teríamos: (a³ - 3ab²) + (3a²b - b³)i, mas também não consegui chegar a resposta do gabarito. A resposta que consta aqui é que o resultado é: 512 - i512√3.

Você pode fazer do jeito que fez quando o expoente é pequeno. Pode também fazer transformando o número complexo na forma trigonométrica
ache o módulo: @² = 2² + [2raiz(3)]² = 4 + 12 = 16 ; @ = 4
ache o argumento: tan a = 2raiz(3)/2 = raiz(3) ; a = 60 graus
Assim, 2 + i.2raiz(3) = 4.(cos 60 + i.sen60)
Para elevar ao cubo, faça: 4³.(cos 3.60 + i.sen 3.60) = 64.(cos 180 + i.sen 180) = 64.(-1 + 0) = -64