Fatoração de equações do 3º grau

[tiatalli]

Já ouvi falar sobre o método de Cardano, mas as informações que encontro na internet são rasas.
Por agrupamento, pude resolver isso:

a) x³ + 2x² - x - 2

Organizando: x³ - x + 2x² - 2

---> x(x²-1) + 2(x²-1)

----> (x+2)(x²-1)

------> (x+2)(x+1)(x-1)

Resolvi, mas queria saber como chegar a resposta pelo método Cardano, com as fórmulas. Abraço fraterno de uma Br <3

[jorgeluis]

tiatalli,
o método de cardano em relação aos métodos de agrupamento e raízes possíveis e briot-ruffini é muito mais complexo e demorado, a menos que você esteja estudano esse método, eu sugiro continuar usando outros, mais rápidos e eficientes. Veja:

\(x^3 + 2x^2 - x - 2 =\)
a=2
p=b=-1
q=c=-2
como p,q<0, então, a fórmula de cardano utilizada é:

\(x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}\)

e não para por aqui !!!

você utilizou o agrupamento (ou fatoração), mas o método de raízes possíveis e briot-ruffini também é muito eficiente é rápido, veja:

raízes possíveis:
divisores de \(\alpha_o = \pm1\) (coeficiente de x³, ou seja, 1)
divisores de \(\alpha_3 = \pm1, \pm2\) (coeficiente de x⁰, ou seja, o termo independente 2)
substituindo essas possíveis raízes na equação acima, você encontrará as raízes \({\pm1, -2}\)

briot-ruffini:
ache uma das raízes e aplique o dispositivo de ruffini, depois é só encontrar as raízes da equação do 2^o grau.

bons estudos !!!

[Sobolev]

Se quer resolver/factorizar equações/polinómios do 3º grau tem realmente que utilizar o processo conhecido como fórmula de Cardano. O método descrito pelo Jorgeluis é realmente mais fácil mas apenas funciona para pesquisar raízes que sejam números inteiros.

[tiatalli]

Muito obrigada vocês, mas vcs teriam um site que explica tim tim por tim tim. Tipo... Carne moída? Um pdf, arquivo :3 agradeço muito

[Sobolev]

Bom dia,

Na página seguinte, todo o processo é descrito de modo perceptível.

https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmulas_de_Cardano

1. Dividir a equação pelo coeficiente de \(x^3\) obtendo uma equação do tipo \(x^3 + ax^2+bx+c = 0\)

2. Fazer a mudança de variável \(x = z -\frac a3\) o que permite eliminar o termo quadrático e chegar à equação

\(z^3+pz + q = 0 \qquad \qquad (1)\)

em que \(p = b- \frac{a^3}{3}\) e \(q = \frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3} + c\). Para qualquer equação de partida, conseguirá sempre obter uma equação do tipo (1).

3. Obter as raizes da equação (1) aplicando a fórmula já mencionada pelo jorgeluis

\(z = \sqrt[3]{-\frac q2 - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac q2 + \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\)

(note que em geral pode obter raizes complexas)

Exemplo: \(x^3 + x^2 - x - 2 = 0\)
1. A equação já está na forma referida neste ponto, com a = 1, b = -1, c=-2.
2. Fazera mudança de variável \(x = z- \frac 13\) obtendo a equação (\(p=-\frac 43, \quad q = -\frac{43}{27}\))
\(z^3 -\frac 43 z -\frac{43}{27} = 0\)

3.
\(z_1 = \frac{1}{3} \left(-1+\sqrt[3]{\frac{43}{2}-\frac{3\sqrt{177}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(43+3 \sqrt{177}\right)}\right)
z_2 = -\frac{1}{3}-\frac{1}{6} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{43}{2}-\frac{3\sqrt{177}}{2}}-\frac{1}{6} \left(1-i\sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(43+3\sqrt{177}\right)}
z_3=-\frac{1}{3}-\frac{1}{6} \left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{43}{2}-\frac{3 \sqrt{177}}{2}}-\frac{1}{6} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(43+3 \sqrt{177}\right)\)