Sistema de equacoes no espaco
13 fev 2016, 18:59
No espaco em relacao a um referencial o.n. 0xyz considera os pontos A(1,-2,4) e B(-3,2,5) e a reta r definida por\(\left\{\begin{matrix} X=1+3k\\ Y=-2k\\ z=2+k \end{matrix}\right.\). k\(\epsilon \mathbb{R}\)
Determina as coordenadas dos pontos de intersecao da reta r com os planos ordenados.
Podem ajudar-me? obrigado
Determina as coordenadas dos pontos de intersecao da reta r com os planos ordenados.
Podem ajudar-me? obrigado
Re: Sistema de equacoes no espaco
13 fev 2016, 20:02
1. determinando a equação da reta a partir dos pontos dados A(1,-2,4) e B(-3,2,5):
\(\begin{vmatrix} x & y & z\\ 1 & -2 & 4\\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix}\)=0
\(-18x-17y-4z=0\)
2. substituindo os valores das coordenadas x,y,z na equação da reta acima:
\(-18.(1+3k) - 17.(-2k) - 4.(2+k) = 0
k=-\frac{13}{12}\)
3. achando as coordenadas dos pontos de interseção:
\(x=1+3k
x=-\frac{9}{4}\)
\(y=-2k
y=\frac{13}{6}\)
\(z=2+k
z=\frac{11}{12}\)
logo,
as coordenadas são \((x,y,z)=(-\frac{9}{4},\frac{13}{6},\frac{11}{12})\)
\(\begin{vmatrix} x & y & z\\ 1 & -2 & 4\\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix}\)=0
\(-18x-17y-4z=0\)
2. substituindo os valores das coordenadas x,y,z na equação da reta acima:
\(-18.(1+3k) - 17.(-2k) - 4.(2+k) = 0
k=-\frac{13}{12}\)
3. achando as coordenadas dos pontos de interseção:
\(x=1+3k
x=-\frac{9}{4}\)
\(y=-2k
y=\frac{13}{6}\)
\(z=2+k
z=\frac{11}{12}\)
logo,
as coordenadas são \((x,y,z)=(-\frac{9}{4},\frac{13}{6},\frac{11}{12})\)
Re: Sistema de equacoes no espaco
13 fev 2016, 20:26
jorgeluiz, para começar fazendo esse determinante igual a zero devemos ter os três pontos sendo colineares no espaço. Correto?
O que nos garante essa afirmação neste problema em questão.
Obrigado
O que nos garante essa afirmação neste problema em questão.
Obrigado
Re: Sistema de equacoes no espaco
13 fev 2016, 21:57
Estudioso,
assim como jorgeluis é diferente jorgeluiz, reta é diferente de segmento de reta.
reta: formada por infinitos pontos alinhados (colineares).
segmento de reta: nada mais é do que uma parte de uma reta que possui um ponto inicial e um ponto final, chamados de “extremos”.
a questão nos dá um referencial 0xyz do plano, onde a reta o intercepta, a questão busca encontrar exatamente o ponto dessa reta (x,y,z) onde ocorre esse encontro.
podemos dizer de acordo com os dados da questão que a reta possui 2 pontos colineares conhecidos A e B, mas, existe um ponto C(x,y,z), também colinear, dessa reta que intercepta o plano.
assim como jorgeluis é diferente jorgeluiz, reta é diferente de segmento de reta.
reta: formada por infinitos pontos alinhados (colineares).
segmento de reta: nada mais é do que uma parte de uma reta que possui um ponto inicial e um ponto final, chamados de “extremos”.
a questão nos dá um referencial 0xyz do plano, onde a reta o intercepta, a questão busca encontrar exatamente o ponto dessa reta (x,y,z) onde ocorre esse encontro.
podemos dizer de acordo com os dados da questão que a reta possui 2 pontos colineares conhecidos A e B, mas, existe um ponto C(x,y,z), também colinear, dessa reta que intercepta o plano.
Re: Sistema de equacoes no espaco
14 fev 2016, 13:10
Ola, eu ainda nao dei matrizes, sera que e possivel resolver de outra maneira. Obrigado.
Re: Sistema de equacoes no espaco [resolvida]
14 fev 2016, 16:22
Carmem,
eu não conheço outro jeito, uma vez que de outra forma você teria que encontrar o vetor normal do plano (i,j,k) que é obtido da mesma forma que a equação da reta, ou seja, determinante da matriz 3x3.
Por outro lado, posso te afirmar que você aprende a determinante de matriz 3x3, em menos de 10 minutos, é super simples usar a regra de sarrus.
veja o anexo:
eu não conheço outro jeito, uma vez que de outra forma você teria que encontrar o vetor normal do plano (i,j,k) que é obtido da mesma forma que a equação da reta, ou seja, determinante da matriz 3x3.
Por outro lado, posso te afirmar que você aprende a determinante de matriz 3x3, em menos de 10 minutos, é super simples usar a regra de sarrus.
veja o anexo:
- Anexos
-
- Determinant_3x3.jpg (50.67 KiB) Visualizado 2192 vezes
Re: Sistema de equacoes no espaco
15 fev 2016, 11:08
O sistema de equações define completamente a recta... Não vejo para que servem os pontos A e B, colocou o enunciado completo?
A intersecção com os planos ordenados é obtida directamente do sistema. Por exemplo, para um ponto pertencer ao plano XY, devemos ter a terceira componente igual a zero, isto é, \(2+k = 0\), ou seja \(k = -2\). O ponto de intersecção é então \((-5, 4, 0)\).
Para os outros planos coordenados pode proceder do mesmo modo. No plano XZ temos y=0, pelo que \(-2k = 0 \Leftrightarrow k=0\), e o ponto será \((1 , 0, 2)\). Já para o plano YZ temos x = 0, pelo que \(1+3k = 0 \Leftrightarrow k 0 -\frac 13\) e o ponto de intersecção é (0, 2/3, 5/3).
Neste caso a recta definida pelo sistema de equações (forma paramétrica) cruza os três planos coordenados. Novamente, os pontos A,B são desnecessários, já que no enunciado não se faz nenhuma referência à recta por eles definida, mas sim à recta definida pelo sistema de equações... É um enunciado equivalente a: "O Alberto tem dois cães. Calcule 1+1."
A intersecção com os planos ordenados é obtida directamente do sistema. Por exemplo, para um ponto pertencer ao plano XY, devemos ter a terceira componente igual a zero, isto é, \(2+k = 0\), ou seja \(k = -2\). O ponto de intersecção é então \((-5, 4, 0)\).
Para os outros planos coordenados pode proceder do mesmo modo. No plano XZ temos y=0, pelo que \(-2k = 0 \Leftrightarrow k=0\), e o ponto será \((1 , 0, 2)\). Já para o plano YZ temos x = 0, pelo que \(1+3k = 0 \Leftrightarrow k 0 -\frac 13\) e o ponto de intersecção é (0, 2/3, 5/3).
Neste caso a recta definida pelo sistema de equações (forma paramétrica) cruza os três planos coordenados. Novamente, os pontos A,B são desnecessários, já que no enunciado não se faz nenhuma referência à recta por eles definida, mas sim à recta definida pelo sistema de equações... É um enunciado equivalente a: "O Alberto tem dois cães. Calcule 1+1."