Calcular o volume da parte comum de duas pirâmides

[Fernando Magalhães]

Em um cubo de volume V sejam F1 e F2 duas faces paralelas. Uma pirâmide tem F1 como base e vértice no centro de F2 e outra pirâmide tem F2 como base e vértice no centro de F1. O volume da parte comum a essas pirâmide em função de V é:

[Sobolev]

A parte comum das duas pirâmides iniciais é formada por duas pirâmides com uma base comum (quadrada), paralela às duas faces e equidistante das mesmas e com os vértices nos centros das faces. Se desenhar um plano de corte verá rapidamente que cada uma dessas duas pirâmides tem altura \(\frac{\sqrt[3]{V}}{2}\) (a aresta do cubo mede \(\sqrt[3]{V}\)) e tem uma base com área \(\left(\frac{\sqrt[3]{V}}{2}\right)^2\). Assim, cada uma das pirâmides que constituem a parte comum tem volume dado por \(\frac 13 \left(\frac{\sqrt[3]{V}}{2}\right)^2 \frac{\sqrt[3]{V}}{2}\), pelo que o seu volume em conjunto será \(2 \times \frac 13 \left(\frac{\sqrt[3]{V}}{2}\right)^2 \frac{\sqrt[3]{V}}{2} =\frac{V}{12}\)