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Olá, sou novo aqui! Tenho um problema de matemática que não sei bem nem a que área pertence. Creio que tenha a ver com conjuntos. mais especificamente com análise combinatória, mas não consigo entender como transformar isso numa equação

Meu problema pode ser resumido dessa forma:

Tenho várias receita de tortas cada uma com uma lista de ingredientes e suas respectivas quantidades.
Em algumas receitas, um ingrediente qualquer pode ser substituído por outro, mas a quantidade se mantem.
Qualquer ingrediente pode aparecer em qualquer receita.
Cada ingrediente tem sempre uma quantidade inteira maior que zero.
(Não sei se isso importa, mas cada receita pode ter no máximo 9 ingredientes. A quantidade de substitutos possíveis é ilimitada).

Tenho também meu depósito de ingredientes.
Os ingredientes no depósito estão em pacotes, cada pacote pode ter de 1 ou mais unidades.
Posso ter no máximo 27 pacotes no depósito.

Dada uma certa receita qualquer, quantas tortas dessa receita posso fazer no máximo usando os ingredientes no meu depósito?

Boas! E bem-vindo.

Mais vale colocar o enunciado do problema. Fica mais simples para nos resolvermos, explicarmos, e para voce seguir o raciocinio.

Com esse enunciado, nao consigo saber qual a receita que pretende elaborar, nem os ingrediente que possui para a poder fazer

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Cumprimentos!
~C. Dinis

Só que eu formulei esse problema hehe. O problema real é que tenho que encontrar um algoritmo que faça algo semelhante. Só que é um problema mais matemático do que de computação. Assim que eu tiver equações pra transformar em algoritmo vou poder resolver meu problema real que é computacional.

A receita é uma abstração e, dada qualquer receita que siga as especificações que eu dei, tenho que saber quantas vezes posso completar a receita com as quantidades que tenho no depósito.

(Não sei editar uma resposta anterior, por isso o post triplo)

Bom, matematicamente falando:

I = {i1, i2, i3, ..., in} onde n >= 1; conjunto de ingredientes
cada elemento de I é totalmente distinto dos outros. Não existe qualquer operação que possa ser feita entre quaisquer 2 elementos de I.

R = {r1, r2, r3, ..., rn} onde n >= 1; conjunto de receitas
cada elemento em R é um subconjunto R'.

R' = {r'1, r'2, r'3, ..., r'n} onde n >= 1 e n <= 9; conjunto de ingredientes da receita
cada elemento de R' é novamente um subconjunto R''.

R'' = {r''1, r''2, r''3, ..., r''n} onde n >= 1 e para todo r'' que pertence a R'', r'' também pertence a I; conjunto de opções de ingredientes
cada elemento de R'' é um dos elementos de I.

D = {d1, d2, d3, ... dn} onde n >= 1 e n <= 27; conjunto de pacotes de ingredientes em meu depósito;
cada elemento de d1 é um par (x, y) tal que x pertence a I e y é um número natural maior que 0 e menor que C (uma constante arbitrária e provavelmente irrelevante, usarei uma potência de 2, como 64 ou 128) representando uma quantidade; ou seja, cada elemento de D1 é um pacote de algum elemento de I.

Dada uma receita r qualquer, e um conjunto D qualquer, como saber quantas vezes posso completar a receita. Qual(is) equação(ões) representa(m) meu problema?

Okay... Programacao, por tanto?
Como automatizar este tipo de calculo... Boa pergunta!!

Recapitulando,
Essas associacoes parecem-me base de dados. Estou correto?

O que e e para que serve o R''? (conjunto de opções de ingredientes)

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Cumprimentos!
~C. Dinis

Comecando do mais facil.

Cada receita possui \(^{n}C_{p}\) maneiras de ser concebida.
n, Numero de Ingredientes Disponiveis para fazer a torta.
p, Numero de ingredientes Necessarios para fazer a torta.

ISTO, assumindo que a ordem pelo qual os ingredientes sao adicionados, nao interessa.
\(^{n}C_{p}=\frac{^{n}A_{p}}{p!}\)
\(^{n}A_{p}=\frac{n!}{(n-p)!}\)
\(n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times...\times(3)\times(2)\times(1)\)

(Se for programacao, essas tres formulas tera que implementar no programa. Aconselho serem funcoes, ou algo que possa chamar mais tarde, alterando os valores de n e p)
Aguardo pela resposta a questao anterior, para proceguir. (Provavelmente so amanha)

OBS: Se a ordem pelo qual os ingredientes sao colocados interessa (Ou seja, primeiro colocar I1 e depois I3, ser diferente que colocar I3 e depois I1), Basta ignorar a primeira formula e avancar logo para a segunda

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Cumprimentos!
~C. Dinis

Sim, mas o problema é ligado ao design de jogos e não a bancos de dados.

Bem, as opções de ingredientes são minha abstração para o fato de que em alguns casos (cada um destes casos eu aqui chamo de "receita"), tenho mais de uma opção de "ingrediente". Posso fazer uma abstração computacional do problema, se ajudar:

classe Ingrediente
{

}

classe Conjunto de <T>
{
//um conjunto de objetos de tipo T, todos diferentes entre si. Não possui ordem dos elementos ou localização dos elementos no conjunto.
}

classe Opções
{
Conjunto de <Ingrediente> opções;
Inteiro quantidade;
}

classe Receita
{
Conjunto de <Opções> opções_de_ingredientes;
}

classe Pacote
{
Ingrediente ingr;
Inteiro quantidade;
}

classe Depósito
{
vetor [1 ... 27] de Pacote conteúdo;
}

função de Receita r, Depósito d : retorna Inteiro
{
//deve retornar a quantidade de vezes que a receita r pode ser realizada usando-se os pacotes no depósito d
}

Exemplo:
Ingredientes: I={a;b;c;d;e;f}

Receitas R={Tarte;Bolo;Puré}

Conjunto de I por R
R'={ {a;b;c;d}; {c;d;f}; {a;c;e;f}}

Possiveis alterações à Receita
R''={{c;e;f;d};{a;c;d};{f;c;e;d}}
(Basicamente, cada ingrediente, pode ser trocado por qualquer um dos ingredientes em I?)
Se for o caso, é possível alterar um ingrediente por um conjunto de ingredientes?

Stock (Ou "Depósito"?)
D={10;5;5;12;22;16}

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~C. Dinis