Seja (Xn) uma sequência monótona não decrescente e a=sup{x1, x2..xn,....}. Se (Xn) é limitada, então Xn->a

[Gonsalves]

Tudo certo, pessoal?

Precisando demais da ajuda de vocês nesta questão:

Seja \((X_{n})\) uma sequência monótona não decrescente e \(a=sup\left \{ x_{1},x_{2},....,x_{n},... \right \}\). Se \((X_{n})\) é limitada, então \(X_{n}\rightarrow a.\)

Vlw.

[Sobolev]

Bom dia,

Recorde a definição de sucessão convergente
\(x_n \to a \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \exists p \forall n ( n>p \Rightarrow |x_n-a|< \varepsilon)\).

Por definição de supremo, existirá um termo da sucessão, \(x_p\), tal que \(x_p > a- \varepsilon\). Por outro lado, como a sucessão é crescente, temos para todo o \(n>p\) que \(x_n \ge x_p > a- \varepsilon\). Além disso, como a é o supremo, também temos que \(x_n \leq a\). Juntando os dois facto, para todo o \(\varepsilon >0\) e \(n>p\) temos que \(a- \varepsilon < x_n \leq a\), o que significa que \(|x_n-a|< \varepsilon\) e conclui a demonstração.