Calcular as curvas ortogonais a familia

[jearaujo01]

Olá, podem me ajudar?

Calcule as trajetórias ortogonais à família a um parâmetro
\(x^3 - 3xy^2 + x + 1 = c\)

[Rui Carpentier]

A família dada é formada pelas curvas de nível da função escalar definida por \(f(x,y)=x^3 - 3xy^2 + x + 1\). Sendo assim, uma trajectória \(\gamma(t)\) que seja ortogonal a esta curvas será tangente ao campo gradiente de \(f\). Portanto qualquer trajectória \(\gamma(t)=(x(t),y(t))\) terá de satisfazer o sistema de equações diferenciais \(\gamma'(t)=\nabla f(\gamma(t))\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x'=3x^2-3y^2+1\\y'=-6xy\end{array}\right.\). A dificuldade agora é resolver o sistema (que não é linear). De momento não estou a ver como resolvé-lo.

[Sobolev]

Pode usar as condições de Cauchy-Riemann. Se considerar uma função complexa, diferenciável, escrita da forma \(f = u + iv\), ela vai verificar as condições de Cauchy-Riemann e as curvas de nível de u e v são ortogonais.

Se tomar \(u = x^3-3xy^2+x-1\), verá que pode escolher \(v = 3x^2y-y^3+y\).

As trajectórias ortogonais são então dadas na forma implicita por \(3x^2y-y^3+y = c\).

Anexos

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[jearaujo01]

E resolvendo dessa forma, tem coerência?

Anexos

[Rui Carpentier]

Boa Sobolev, não passou essa pela cabeça mas é bem visto. De facto, as condições de Cauchy-Riemann implicam a ortogonalidade dos campos gradiente das funções \(u\) e \(v\) (logo a ortogonalidade das suas curvas de nível).

jearaujo01 posso estar a ver mal mas há alguma coisa errada na sua resolução, uma vez que \(y-y^3=C\) não define uma curva.

[jearaujo01]

Já encontrei meu erro.
Resolvi pelo método da equação exata para EDO e cheguei ao resultado.
Obrigada pela ajuda!!