Fórum de Matemática
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Bom é o seguinte, dada a equação √x + 1/√x = 3 , o valor de x - 1/x= ?

Seguinte já tentei elevar os dois lado porém não sei onde encachar o valor, ficando assim x² + 1/x² = 7 daí em diante não sei mais o que fazer.

Pode verificar o enunciado? Não será para determinar o valor de \(x-\frac 1x\)? Se for esse o caso, tem que:
\(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}=3 \Rightarrow
x + 2 + \frac 1x = 9\)

se for mesmo o enunciado inicial, diga qq coisa!

Sim, é para determinar o valor de x - 1/x

Nesse caso, retomando os cálculos, e considerando que x>0 temos

\(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 3 \Rightarrow x+2+\frac 1x = 9 \Leftrightarrow x^2+1 = 7x\)

Resolvendo a equação do segundo grau verá que apenas uma das soluções resolve a equação inicial, e conclui que \(x =\frac{1}{2} \left(7-3 \sqrt{5}\right)\)

Finalmente pode agora calcular

\(x-\frac 1x = -3\sqrt{5}\).

Julgo que deve haver algum modo mais directo de chegar à solução, manipulando directamente a eq. inicial de modo a fazer aparecer o termo \(x-1/x\), mas neste momento não estou a ver...

Acho que o método do Sobolev é o mais simples (ou pelo menos o mais óbvio). Adiciono apenas que há duas soluções: uma para \(x =\frac{1}{2} \left(7-3 \sqrt{5}\right)\) que dá \(x-\frac{1}{x} = -3\sqrt{5}\) e outra para \(x =\frac{1}{2} \left(7+3 \sqrt{5}\right)\) que dá \(x-\frac 1x = 3\sqrt{5}\).

Outra possibilidade mais direta, mas menos óbvia*, seria:

\(x-\frac{1}{x}=\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=\pm \left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\sqrt{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2}=\pm \left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\sqrt{\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2-4}=\pm 3\sqrt{9-4}=\pm 3\sqrt{5}\)


* na verdade só cheguei a ela após tentar pôr os passos de uma outra resolução mais complicada numa só fórmula.

Obrigado Rui, existem de facto duas soluções... por alguma razão achei que uma delas não satisfazia a equação inicial...