Provar que vetores são iguais e consequentemente que a figura é um paralelogramo
25 mar 2016, 17:53
Mostre que OABC é um paralelogramo, ou seja,
- Anexos
-
- e
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- mostre que:
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Re: Provar que vetores são iguais e consequentemente que a figura é um paralelogramo
25 mar 2016, 20:55
Para que os vetores em questão sejam iguais é necessário que seus módulos, direção e sentido sejam iguais. Como a direção e o sentido estão de acordo, basta então provar os módulos.
Arbitrando os pontos, exceto a origem O, de forma a satisfazer o paralelogramo, temos:
\(O(0,0), A(3,4), B(8,7), C(5,3)\)
\(\vec{OA}=\vec{CB}\)
se,
\(\vec{OA}//\vec{CB}\)
e,
\(|\vec{u}|=|\vec{CB}|
|\vec{u}|=\sqrt{3^2+4^2}=5
|\vec{CB}|=\sqrt{(8-5)^2+(7-3)^2}=5\)
\(\vec{AB}=\vec{OC}\)
se,
\(\vec{AB}//\vec{OC}\)
e,
\(|\vec{v}|=|\vec{AB}|
|\vec{v}|=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}
|\vec{AB}|=\sqrt{(8-3)^2+(7-4)^2}=\sqrt{34}\)
Arbitrando os pontos, exceto a origem O, de forma a satisfazer o paralelogramo, temos:
\(O(0,0), A(3,4), B(8,7), C(5,3)\)
\(\vec{OA}=\vec{CB}\)
se,
\(\vec{OA}//\vec{CB}\)
e,
\(|\vec{u}|=|\vec{CB}|
|\vec{u}|=\sqrt{3^2+4^2}=5
|\vec{CB}|=\sqrt{(8-5)^2+(7-3)^2}=5\)
\(\vec{AB}=\vec{OC}\)
se,
\(\vec{AB}//\vec{OC}\)
e,
\(|\vec{v}|=|\vec{AB}|
|\vec{v}|=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}
|\vec{AB}|=\sqrt{(8-3)^2+(7-4)^2}=\sqrt{34}\)
Re: Provar que vetores são iguais e consequentemente que a figura é um paralelogramo
26 mar 2016, 17:52
Mas ai na realidade você não provou que os vetores eram iguais. Você apenas atribuiu a eles valores pra tornar a igualdade verdadeira. Eu queria saber como é que prova que eles são iguais apenas com os dados da questão.
Re: Provar que vetores são iguais e consequentemente que a figura é um paralelogramo
27 mar 2016, 02:11
Estou considerando que u e v são vetores.
Veja que \(\overset{\rightarrow}{OA} + \overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{u}+\overset{\rightarrow}{v} = \overset{\rightarrow}{OC} + \overset{\rightarrow}{CB}\)
Se \(\overset{\rightarrow}{OC} = \overset{\rightarrow}{v}\) e \(\overset{\rightarrow}{OA} = \overset{\rightarrow}{u}\), então \(\overset{\rightarrow}{u} + \overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{u}+\overset{\rightarrow}{v}\) (primeira igualdade da equação acima) e \(\overset{\rightarrow}{v} + \overset{\rightarrow}{CB} = \overset{\rightarrow}{u}+\overset{\rightarrow}{v}\) (segunda igualdade), portanto \(\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{v}\) e \(\overset{\rightarrow}{CB} = \overset{\rightarrow}{u}\) (subtração dos valores comuns)
Concluindo que \(\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{OC}\) e \(\overset{\rightarrow}{CB} = \overset{\rightarrow}{OA}\)
Veja que \(\overset{\rightarrow}{OA} + \overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{u}+\overset{\rightarrow}{v} = \overset{\rightarrow}{OC} + \overset{\rightarrow}{CB}\)
Se \(\overset{\rightarrow}{OC} = \overset{\rightarrow}{v}\) e \(\overset{\rightarrow}{OA} = \overset{\rightarrow}{u}\), então \(\overset{\rightarrow}{u} + \overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{u}+\overset{\rightarrow}{v}\) (primeira igualdade da equação acima) e \(\overset{\rightarrow}{v} + \overset{\rightarrow}{CB} = \overset{\rightarrow}{u}+\overset{\rightarrow}{v}\) (segunda igualdade), portanto \(\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{v}\) e \(\overset{\rightarrow}{CB} = \overset{\rightarrow}{u}\) (subtração dos valores comuns)
Concluindo que \(\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{OC}\) e \(\overset{\rightarrow}{CB} = \overset{\rightarrow}{OA}\)