Nova solução para a raiz de índice 2n de -1

[luquinhas0021]

Primeiramente, quero dizer que não encontrara categoria mais apropriada para esse tipo de comentário, por isso o pus aqui.

A invenção do "i" para representar a raiz par de -1, sem dúvidas, foi um marco na Matemática, porém nem de longe resolveu o problema. "i" é a raiz par de -1, então... Cadê ela?
Pensando sobre isso - como resolver essa questão secular - eu achei algo melhor que os números complexos, e mais palpável. Explicarei-lhe: Considere um número k, com k contido no conjunto dos números reais não-negativos, incluindo o 0. Para k, tem-se duas possíveis atribuições: ou positivo (+) ou negativo (-). Mas eu pensei numa outra atribuição: uma que não é positiva nem negativa, mas que pode se transformar em qualquer uma das duas, claro, em uma por vez, possivelmente ao acaso. Por fazer alusão a um tipo de células-tronco, eu a sinalizo por T. Assim, Tk pode ser +k ou -k. Assim, raiz par de -1 é T1, e eu provarei isso, usando raiz quadrada como exemplo:
T1 = +1 ou -1
T1 x T1 = + 1 x +1 ou +1 x -1 ou -1 x +1 ou -1 x -1 = +1 ou -1.
Como a raiz enésima denota multiplicação de n iguais atribuições, meu resultado se sustenta.
Chamo esse conjunto de Conjunto dos Números-Tronco.

[Rui Carpentier]

Acho interessante quando alguém propõe uma nova solução a um problema já há muito resolvido. O meu instinto céptico impele-me a rejeitar ou, na melhor das hipóteses, ignorar (algo que já fiz aqui neste forum a outras mensagens do género). No entanto, sei que grandes progressos em matemática (e em ciência em geral) pode vir de ideias malucas. As ideias malucas são como bilhetes de lotaria, uma ou outra poderá ter grande sucesso que dará ao autor um lugar na história mas a grande maioria vai para o caixote do lixo. Houve um lauriado com um prémio Nobel (não me de quem) que em resposta à pergunta de qual o segredo para ganhar um nobel disse algo do género: "é ter muitas ideias e ter a coragem de mandar quase todas para o lixo". Essa é a grande diferença entre um génio e um lunático, um génio testa as suas ideias e quando elas falham deita-as no lixo (são o becos sem saída que são muito comuns quando se faz ciência mas não são referidos cá fora dando a sensação que um cientista produz sucessos atrás de sucessos). Já um lunático fica preso a uma ideia e não a larga nem quando toda a gente lhe faz ver que a ideia não tem pernas para andar.

Agora analisando o que escreveu. Primeiro, o problema do "i" não ser palpável é um não problema (ou um problema irresolúvel). Porquê? porque tudo em matemática é abstração incluindo os números naturais. O que faz os conceitos mais básicos parecerem palpáveis é termos sido treinados a trabalhar com eles desde de muito cedo. Depois de trabalhar muito com números complexos estes parecem tão naturais quanto os números reais.
Segundo, o conceito alternativo para raiz quadrada de -1 que introduz (uma espécie de "gato de Schrodinger" que pode ser -1 ou 1) não é raiz de -1. Se vir bem as suas contas verá que T1xT1= 1 ou -1, ou seja, T1xT1=T1 e não -1.
Não deixa de haver algo de interessante nessa abordagem que se aproxima muito ao conceito de fuzzy number. Poderá dar origem a uma álgebra interessante? Creio que sim (mas aconselho que arrange um matemático profissional com quem possa discutir essas ideias). Será algo novo? Não estou tão confiante. Poderá ser uma alternativa válida aos números complexos? Estou certo que não.
Lembre-se que a atual teoria dos números complexos é fruto de muitas gerações de matemáticos, é pouco provável que algo melhor (mais simples) lhes tenham escapado.

[luquinhas0021]

Bem, você disse que a Matemática é feita de abstrações. Sim, concordo (Se bem que algumas, em minha opinião, depois de pensar sobre elas, não são muito bem-sucedidas. Mas esse é assunto que não cabe a agora). Pensar num número que se pode se tornar qualquer uma das duas naturezas (+ ou -) é, sim, uma abstração: podemos associar coisas do cotidiano a - x ou a -x, mas creio que seja mais complicado falar que associa no cotidiano algo pode ser -1 e +1, por exemplo.
T1 x T1 x ... x T1 é T1. Se você considerar que T1 pode ser +1 ou -1, T1 ser a raiz de -1 é possível, sim. Estou falando de uma Matemática do "pode ser", não uma Matemática do "é".
Bem, eu acredito, sim, na validade da solução.

[Rui Carpentier]

Pensar num número que se pode se tornar qualquer uma das duas naturezas (+ ou -) é, sim, uma abstração: podemos associar coisas do cotidiano a - x ou a -x, mas creio que seja mais complicado falar que associa no cotidiano algo pode ser -1 e +1, por exemplo.

Desculpa, mas não entendo o sentido da frase.

T1 x T1 x ... x T1 é T1. Se você considerar que T1 pode ser +1 ou -1, T1 ser a raiz de -1 é possível, sim. Estou falando de uma Matemática do "pode ser", não uma Matemática do "é".

Para mim, matemática do "pode ser" entra no campo da lógica difusa que é um ramo da matemática já muito estudado. Tudo o que sei sobre lógica difusa (fuzzy logic) é quase nada, e o meu conselho é que se pretende avançar com a sua linha de investigação o melhor é começar a ler sobre o assunto para ver o que já foi feito. Tenha em conta que os génios só se tornaram produtivos porque estavam inseridos numa forte comunidade científica (tivesse o Einstein nascido e vivido toda a sua vida no Burundi não teria sido o génio que foi).
Deixo-lhe mais uma achega. O que se procura, em primeiro lugar, numa definição matemática (ou mais geralmente numa teoria) é que esta seja fácil de trabalhar e que permita formular e responder a questões objetivas. Por exemplo, seria mais intuitivo definir uma função contínua como uma função sem saltos ou que o gráfico podesse ser desenhado sem levantar o lápis, mas estas definições inúteis porque ou são ambíguas ou não permitem responder a perguntas objetivas como por exemplo saber se a soma de funções contínuas é uma função contínua ou se uma função contínua pode ser aproximada por polinómios. Em vez disso temos definições de continuidade que parecem tão abstratas (e o são) que dão dores de cabeça a muitos alunos de cálculo. Ora a definição actual dos números complexos é do mais versátil que há em matemática. Podemos somar, subtrair, multiplicar, dividir, achar limites, definir funções diferenciáveis, garantir a existência de raízes de qualquer polinómio, etc (em muitos aspectos são melhor que os números reais). Se você for tentar encontrar uma alternativa, ela terá de manter todas essas propriedades o que é um desafio hercúleo.