Valor aproximado do erro - Método Gauss Seidel

[Estudioso]

Utilizando o método iterativo de Gauss-Seidel, qual será o valor aproximado do erro absoluto associado a aproximação do processo?

\(\left\{\begin{matrix} 20x_{1}\,+\,4x_{2}\,+\,3x_{3}\,=\,100 & & \\ 2x_{1}\,+\,30x_{2}\,+\,4x_{3}\,=\,90 & & \\ 2x_{1}\,+\,2x_{2}\,-\,35x_{3}\,=\,70& & \end{matrix}\right.\)

Agradeço

[Baltuilhe]

Bom dia!

\(\begin{cases}20x_1&+4x_2&+3x_3&=&100\\2x_1&+30x_2&+4x_3&=&90\\2x_1&+2x_2&-35x_3&=&70\end{cases}\)

Para usar o método iterativo de Gauss-Seidel precisamos escrever as equações de iteração:
\(\begin{cases}x_1&=&\frac{100-4x_2-3x_3}{20}\\x_2&=&\frac{90-2x_1-4x_3}{30}\\x_3&=&\frac{70-2x_1-2x_2}{-35}\end{cases}\)

Como valor a ser substituído na primeira aproximação podemos utilizar:
\(\begin{bmatrix}5\\3\\-2\end{bmatrix}\)

Lembrando que neste método a cada iteração já utilizamos o valor obtido corrigido caso tenha que usá-lo

Então:
\(\begin{cases}x_1&=&\frac{100-4(3)-3(-2)}{20}&=&4,7\\x_2&=&\frac{90-2(4,7)-4(-2)}{30}&=&2,95333\\x_3&=&\frac{70-2(4,7)-2(2,95333)}{-35}&=&-1,56267\end{cases}\)

Erro:
\(\begin{bmatrix}4,7\\2,95333\\-1,56267\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}5\\3\\-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-0,3\\-0,04667\\0,43733\end{bmatrix}
Erro=Max\left{0,3,\;0,66667,\;0,45714\right}=0,45714\)

Para cada nova iteração o erro deve diminuir:

Então:
\(\begin{cases}x_1&=&\frac{100-4(2,95333)-3(-1,56267)}{20}&=&4,64373\\x_2&=&\frac{90-2(4,64373)-4(-1,56267)}{30}&=&2,89877\\x_3&=&\frac{70-2(4,64373)-2(2,89877)}{-35}&=&-1,56900\end{cases}\)

Erro:
\(\begin{bmatrix}4,64373\\2,89877\\-1,56900\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}4,7\\2,95333\\-1,56267\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-0,05627\\-0,05456\\-0,00633\end{bmatrix}
Erro=Max\left{0,05627,\;0,05456,\;0,00633\right}=0,05524\)

E assim sucessivamente até alcançar o erro desejado

Espero ter ajudado!

[Estudioso]

Baltuilhe, esqueci de postar as alternativas:

a) 0,004115
b) 0,004995
c) 0,005524
d) 0,006333
e) 0,007524

Pela sua resposta, a alternativa correta é a letra c?

Obrigado