Equações com radicais e polinómios

[Carmen]

Resolva a equação \(\sqrt{x-2}\) = \(\sqrt{x+1}\) - 3

Podem ajudar-me. Obrigado

[Estanislau]

Um dos métodos aplicáveis às equações desse tipo (que contêm vários simples radicais) é reduzi-las a sistemas de equações sem radicias. Seja \(u=\sqrt{x-2}\), \(v = \sqrt{x+1}\), então u = v - 3. Por outro lado, \(u^2 = x - 2\) e \(v^2 = x + 1\), por isso u^2 - v^2 = -3. Assim, temos o sistema
\(u = v - 3
u^2 - v^2 = -3\)
Basta procurar soluções não negativas.

[jorgeluis]

\(\sqrt{x-2}=\sqrt{x+1} - 3\)
\((\sqrt{x-2})^2=(\sqrt{x+1} - 3)^2\)
\(x-2=(x+1)-6\sqrt{x+1}+9\)
\(6\sqrt{x+1}=12\)
\(\sqrt{x+1}=2\)
\((\sqrt{x+1})^2=2^2\)
\(x+1=4\)
\(x=3\)

[Carmen]

A mim tabém me deu x = 3, mas as soluções dizem que é \(\left \{ \right \}\).

[Carmen]

A mim tabém me deu x = 3, mas as soluções dizem que é um conjunto vazio

[Sobolev]

Repare que x = 3 certamente não é solução... Se substituir na equação obtem

\(\sqrt{3-2} = \sqrt{3+1}-3 \Leftrightarrow 1 = -1\)

Na resolução do jorgeluis faz muita falta colocar o simbolo de equivalência ou de implicação entre cada duas equações... Se o fizer, verá que a conclusão é a seguinte: Se a equação tiver alguma solução será x=3, mas como x=3 não é solução então não exietem soluções.

[lucasgg]

A mim tabém me deu x = 3, mas as soluções dizem que é um conjunto vazio

Você pode testar a resposta usando \(x=3\) na equação e perceber que resultará em \(1 = -1\), portanto não existe solução.

Outra forma de descobrir isso é tentar descobrir uma intersecção entre \(f(x) = \sqrt{x-2}\) e \(g(x)=\sqrt{x+1}-3\), que não existe.