Provar congruência com indução matemática e critérios de divisibilidade

[Skeetch]

5.1. Prove que para todo o \(n\in \mathbb{N}\) tem-se
\(4^{2n+1} \equiv 3^{n+2} (mod 13)\)

Por recurso ao método de indução matematica (sem recurso a definição de \(\cdot \equiv \cdot (mod 13))\)

(mod 13));
E por recurso a argumentos de divisibilidade.

[Estanislau]

O problema não parece muito avançado. Queria saber que tipo de dúvidas tem.

[Skeetch]

O problema não parece muito avançado. Queria saber que tipo de dúvidas tem.

Não percebo onde pegar no exercício para resolver tanto por IM como por argumentos de divisibilidade, para além de não perceber bem o que se pretende quando é referido para não recorrer à definição \(\cdot \equiv \cdot (mod13)\).
Obrigado.

[Estanislau]

Claro que é impossível resolver o problema sem saber o que é que significa a notação mod. Isso é, somos obrigados de utilizar a definição de alguma forma. Acho que basta provar que para todo o \(n \in \mathbb N\) o número \(4^{2n+1} - 3^{n+2}\) é divisível por 13. Pode tentar isto.