Coloque aqui todas as dúvidas que tiver sobre derivadas de funções de |R->|R, regras de derivadas e derivada da função inversa
16 jun 2016, 02:46
Estou com dúvida sobre 2 problemas de otimização da apostila da Unisinos de Cálculo I.
1. Um recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de 2250 cm3. O material para a base e a tampa do recipiente custa R$ 2,00 por cm2 e o dos lados R$ 3,00 por cm2. Ache as dimensões do recipiente de menor custo.
O que eu fiz: V = Ab.h Ab = x^2 h = y V = 2250 logo 2250 = x^2 . y y = 2250/x^2
FUNÇÃO CUSTO: C = (2x^2) . 2,00 + 4xy . 3,00 ----> 2x^2 pois a área da base/tampa é x^2. Como são duas, então multiplica-se por 2. Esse produto se multiplica por R$ 2,00 (preço do material). 4xy pois área do lado = x.y (como são 4 lados = 4xy). Isto vezes R$ 3,00 (preço do material).
Assim obtive a função custo: C = 4x^2 + 12xy. Substituindo y ----> C = 4X^2 + 12X.(2250/x^2) = 4x^2 + 27000/x
A partir daí, pensei que eu deveria somente derivar a função custo e igualar a zero, para assim obter o mínimo absoluto (menor valor de x, que também será o menor custo). Aí descobriria a dimensão de x, e depois poderia descobrir a de y. Porém fazendo isso, obtive C'(x) = 8x - 27000x^-2 ------> x = 3375
Mas as respostas são: x = 15 cm e y = 10 cm.
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2. Uma indústria química vende ácido sulfúrico a granel a R$ 100,00 o galão. Se o custo de produção
total diário em reais para x unidades for 2 C(x) = 100000 + 50x + 0,0025x , quantos galões de ácido
sulfúrico devem ser fabricadas para maximizar o lucro?
O que eu fiz: derivei a função custo e igualei ela a 0, novamente acreditando que assim teria o ponto mínimo, que seria o número de galões para atingir o menor custo. Entretanto, essa derivação resultou em -10.000. Já sei que está errado por ser um número negativo, mas mesmo assim, se substituir esse -10.000 na função custo, se obterá -650.000 no final.
A resposta correta é: 7000 galões
16 jun 2016, 09:13
Só errou mesmo no final...
\(C'(x) = 0 \Leftrightarrow 8x- \frac{27000}{x^2}{=} 0 \Leftrightarrow 8x^3 - 27000 {=} 0 \Leftrightarrow x = 15\)
Relativamente ao segundo exemplo, por favor veja se colocou o enunciado correcto.