Derivada de "e^(√x)

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Olá, pessoal! Boa tarde!
Estava a fazer alguns exercícios de derivada e me surgiu uma dúvida:
f(g(x)) = y = e^√x

Porém, tive uma curiosidade. Meu professor resolveu o exercício assim:
Pela regra da cadeia...
y' = f'(g(x)).g'(x)
y' = f'(u).u' -> sendo que u = g(x), então u' = 1/(2√x)
y' = (e^u)'.u'
E a partir daí...
y' = e^u.u'
y' = e^√x.(1/(2√x))
y' = e^√x/(2√x)

Mas, pra mim, esse (e^u)' só confundiu tudo. Ora, se a derivada de e^u é e^u.u', por que não resultou em e^u.(u')², então resultando em e^√x/4x ?

[Fraol]

Se \(f(x) = e^{\sqrt{x}}\) então conforme você, seu professor e a regra da cadeia teremos:
\(f'(x) = \left(e^{\sqrt{x}}\right)' \cdot \left({\sqrt{x}}\right)'\) que dá o resultado explicitado por você.

Não estou entendendo sua interpretação para

por que não resultou em e^u.(u')², então resultando em e^√x/4x ?

De onde vem esse "quadrado" na sua última expressão?

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De onde vem esse "quadrado" na sua última expressão?

(e^u)'.u' = (e^u.u').u' = e^u.(u')²

[Fraol]

Ah! tá! Eu e o gabarito da solução inicial "cometemos um erro de grafia":

Onde está:

\(f'(x) = \left(e^{\sqrt{x}}\right)' \cdot \left({\sqrt{x}}\right)'\)

O melhor é expressar (já derivando a exponencial para não dar confusão):

\(f'(x) = \left(e^{\sqrt{x}}\right) \cdot \left({\sqrt{x}}\right)'\)

[Fraol]

Ao dizer que \(y' = (e^u)' \cdot u'\) fica a impressão que devíamos derivar de novo a exponencial (daí chegaria no seu quadrado ).

Uma notação menos ambígua para essa derivação é a de Leibniz: \(y' = \frac{de^u}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)

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Ao dizer que \(y' = (e^u)' \cdot u'\) fica a impressão que devíamos derivar de novo a exponencial (daí chegaria no seu quadrado ).

Uma notação menos ambígua para essa derivação é a de Leibniz: \(y' = \frac{de^u}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)

Com essa notação ficou muito mais simples. Muito obrigado pela resposta!