Calculo de taxa interna de retorno

[diegodalcol]

Pessoal me ajudem por favor.

tenho o seguinte problema:

\(400=\frac{100}{(1+i)^{1}}+\frac{150}{(1+i)^{2}}+\frac{90}{(1+i)^{3}}+\frac{250}{(1+i)^{4}}\)

como calculo o valor de i?

Alguém pode me ajudar?

[Plenus]

Você terá de utilizar o método de Newton (ou similar) para calcular raízes de equações numericamente, pois não há solução analítica. Um truque para começar seria colocar o seguinte \((1+i)=p\). A partir de agora, você tem um polinômio da forma

\(400 = 100p^{-1}+150p^{-2}+90p^{-2}+250p^{-3}\)
Qualquer calculadora científica/gráfica faz as contas. No Excel tem o Solver. Como você quer continuar? Na mão mesmo ou usando algum software/calculadora?

[Sobolev]

Se designar \(x=i+1\) e multiplicar tudo por \(x^4\) fica com a equação

\(400 x^4-100 x^3-150 x^2-90 x -250 =0\Leftrightarrow
40 x^4-10x^3-15 x^2-9 x -25 =0\)

Esta equação tem duas raizes complexas conjugadas, e duas raizes reais, uma positiva e uma negativa, que conduzem a dois valores alternativos para a taxa de juro

\(i = 0.15271 \vee i= -1.86105\)

A discussão sobre qual das duas faz sentido depende do significado concreto da equação do valor.

[diegodalcol]

Plenus podemos desenvolver a mão mesmo?

[Sobolev]

Diego,

A fórmula resolvente para polinómios do quarto grau é demasiado complicada para ser útil nestas situações... Tenho a certeza que ninguém espera que resolva analiticamente a equação. Veja bem as quarto raizes que transcrevo abaixo e diga-me de que he servem...

\(\left\{\left\{x\to \frac{1}{16}-\frac{1}{16} \sqrt{17+\frac{8
\sqrt[3]{\sqrt{9002528121}-35154}}{15^{2/3}}-\frac{6424}{\sqrt[3]{15
\left(\sqrt{9002528121}-35154\right)}}}-\frac{1}{2}
\sqrt{\frac{17}{32}-\frac{\sqrt[3]{\sqrt{9002528121}-35154}}{8\
15^{2/3}}+\frac{803}{8 \sqrt[3]{15
\left(\sqrt{9002528121}-35154\right)}}-\frac{701}{160 \sqrt{17+\frac{8
\sqrt[3]{\sqrt{9002528121}-35154}}{15^{2/3}}-\frac{6424}{\sqrt[3]{15
\left(\sqrt{9002528121}-35154\right)}}}}}\right\},\left\{x\to
\frac{1}{16}-\frac{1}{16} \sqrt{17+\frac{8
\sqrt[3]{\sqrt{9002528121}-35154}}{15^{2/3}}-\frac{6424}{\sqrt[3]{15
\left(\sqrt{9002528121}-35154\right)}}}+\frac{1}{2}
\sqrt{\frac{17}{32}-\frac{\sqrt[3]{\sqrt{9002528121}-35154}}{8\
15^{2/3}}+\frac{803}{8 \sqrt[3]{15
\left(\sqrt{9002528121}-35154\right)}}-\frac{701}{160 \sqrt{17+\frac{8
\sqrt[3]{\sqrt{9002528121}-35154}}{15^{2/3}}-\frac{6424}{\sqrt[3]{15
\left(\sqrt{9002528121}-35154\right)}}}}}\right\},\left\{x\to
\frac{1}{16}+\frac{1}{16} \sqrt{17+\frac{8
\sqrt[3]{\sqrt{9002528121}-35154}}{15^{2/3}}-\frac{6424}{\sqrt[3]{15
\left(\sqrt{9002528121}-35154\right)}}}-\frac{1}{2}
\sqrt{\frac{17}{32}-\frac{\sqrt[3]{\sqrt{9002528121}-35154}}{8\
15^{2/3}}+\frac{803}{8 \sqrt[3]{15
\left(\sqrt{9002528121}-35154\right)}}+\frac{701}{160 \sqrt{17+\frac{8
\sqrt[3]{\sqrt{9002528121}-35154}}{15^{2/3}}-\frac{6424}{\sqrt[3]{15
\left(\sqrt{9002528121}-35154\right)}}}}}\right\},\left\{x\to
\frac{1}{16}+\frac{1}{16} \sqrt{17+\frac{8
\sqrt[3]{\sqrt{9002528121}-35154}}{15^{2/3}}-\frac{6424}{\sqrt[3]{15
\left(\sqrt{9002528121}-35154\right)}}}+\frac{1}{2}
\sqrt{\frac{17}{32}-\frac{\sqrt[3]{\sqrt{9002528121}-35154}}{8\
15^{2/3}}+\frac{803}{8 \sqrt[3]{15
\left(\sqrt{9002528121}-35154\right)}}+\frac{701}{160 \sqrt{17+\frac{8
\sqrt[3]{\sqrt{9002528121}-35154}}{15^{2/3}}-\frac{6424}{\sqrt[3]{15
\left(\sqrt{9002528121}-35154\right)}}}}}\right\}\right\}\)

Já as soluções numéricas são ,

\(x= -0.861054, x = -0.0208281 - 0.793259 i, x =-0.0208281 + 0.793259 i, x = 1.15271\)