Determinar números reais em matrizes
24 ago 2016, 18:36
Olá pessoal
Estava viajando e não consegui pegar as 2 primeiras aulas do semestre na faculdade. Por isso estou correndo atrás do tempo perdido e realizando os exercícios das aulas passadas.
O problema é que empaquei em um deles e não consigo achar uma explicação para od esenvolvimento.
A resposta eu já tenho, é x = 1 e y = 1 ou x = –1 e y = –1
Ficaria muito grato se alguém pudesse explicar, ou até mesmo mandar um link de algum lugar onde eu possa estudar sobre.
A questão segue na imagem.
Obrigado a todos
Estava viajando e não consegui pegar as 2 primeiras aulas do semestre na faculdade. Por isso estou correndo atrás do tempo perdido e realizando os exercícios das aulas passadas.
O problema é que empaquei em um deles e não consigo achar uma explicação para od esenvolvimento.
A resposta eu já tenho, é x = 1 e y = 1 ou x = –1 e y = –1
Ficaria muito grato se alguém pudesse explicar, ou até mesmo mandar um link de algum lugar onde eu possa estudar sobre.
A questão segue na imagem.
Obrigado a todos
Re: Determinar números reais em matrizes
12 Oct 2016, 02:44
Olá evilmaax, seja bem-vindo(a)!
\(x \cdot \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix} - I_2 = 0_{2 \times 2}\)
\(\begin{pmatrix} x^2 & 0 \\ 0 & xy \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} x^2 - 1 & 0 \\ 0 & xy - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Comparando os elementos,
\(\begin{cases} \mathsf{x^2 - {1} = {0} \qquad \qquad (i)} \\ \mathsf{xy - {1} = {0} \qquad \qquad (ii)} \end{cases}\)
Resolvendo \(\mathsf{(ii)}\),
\(\\ \mathsf{x^2 - {1} = {0}} \\ \fbox{\mathsf{x = \pm 1}}\)
Substituindo em \(\mathsf{(ii)}\), quando \(\underline{\mathsf{x = + 1}}\):
\(\\ \mathsf{xy - {1} = {0}} \\\\ \mathsf{1 \cdot y - {1} = {0}} \\\\ \fbox{\mathsf{y = 1}}\)
Quando \(\underline{\mathsf{x = - 1}}\):
\(\\ \mathsf{xy - {1} = {0}} \\\\ \mathsf{(- 1) \cdot y - {1} = {0}} \\\\ \mathsf{- y = + 1} \\\\ \fbox{\mathsf{y = - 1}}\)
\(x \cdot \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix} - I_2 = 0_{2 \times 2}\)
\(\begin{pmatrix} x^2 & 0 \\ 0 & xy \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} x^2 - 1 & 0 \\ 0 & xy - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Comparando os elementos,
\(\begin{cases} \mathsf{x^2 - {1} = {0} \qquad \qquad (i)} \\ \mathsf{xy - {1} = {0} \qquad \qquad (ii)} \end{cases}\)
Resolvendo \(\mathsf{(ii)}\),
\(\\ \mathsf{x^2 - {1} = {0}} \\ \fbox{\mathsf{x = \pm 1}}\)
Substituindo em \(\mathsf{(ii)}\), quando \(\underline{\mathsf{x = + 1}}\):
\(\\ \mathsf{xy - {1} = {0}} \\\\ \mathsf{1 \cdot y - {1} = {0}} \\\\ \fbox{\mathsf{y = 1}}\)
Quando \(\underline{\mathsf{x = - 1}}\):
\(\\ \mathsf{xy - {1} = {0}} \\\\ \mathsf{(- 1) \cdot y - {1} = {0}} \\\\ \mathsf{- y = + 1} \\\\ \fbox{\mathsf{y = - 1}}\)