Dúvida subespaço e base

[Tef7d]

Pessoal preciso de ajuda na resolução de 3 alíneas.

\(F=\left \{(x,y,z,w) \epsilon R^4 : x+2y-2w=0\; ,\; 2y-z+2w=0 \right\}\)





a) Verifique que F é um subespaço de vectorial de \(R^4\)

b) Indique uma base para \(F\)

c) Construa uma base de \(R^4\) que inclua uma base de \(F\)

[João P. Ferreira]

Olá

a) \(F\) é um subespaço de \(R^4\) pois

* o vetor zero ou seja \(v=(0,0,0,0)\) está contido em \(F\)

* seja \(u,v\in F\) então \(u+v \in F\)

* seja um escalar \(c\), e \(u \in F\) então \(c.u \in F\)



seja \(u=(u_1,u_2,u_3,u_4)\) e \(v=(v_1,v_2,v_3,v_4)\) testemos se \(u+v\) pertence a \(F\)

ora \(u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3,u_4+v_4)\)

então

\((u_1+v_1)+2(u_1+u_1)-2(u_4+v_4)=0 \ , \ 2(u_2+v_2)-(u_3+v_3)+2(u_4+v_4)=0\)

continuando facilmente repara que \(u,v \in F\)

o mesmo método pode ser aplicado para a terceira condição

[Sobolev]

b) Para construir uma base de F podemos simplesmente obter a expressão geral das soluções do sistema homogeneo dado pelas condições que definem F (F é o nucleo ou espaço nulo da transformação linear associada a essa matriz de sistema).

\(\left\{\begin{array}{rr}x+2y-2w=0 \\ 2y-z+2w=0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rr}x=2w-2y \\ z = 2y+2w\end{array}\right.\)

Assim vemos que na solução do sistema homogeneo as variáveis w e y podem ser escolhidas arbitrariamente. A solução geral é dada então por

\((2 c_1 -2 c_2, c_2, 2c_2+2c_1, c1), \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R}\)

isto é,

\(c_1 (2, 0, 2, 1) + c_2 (-2,1,2,0), \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R}\)

Vemos portanto que uma base de F pode ser dada por

\(B_F = \{(2,0,2,1), (-2,1,2,0)}\)

c) Se acrescentarmos à base de F os vectores (0,0,1,0) e (0,0,0,1) obtemos uma base de \(\mathbb{R}^4\).