Mostrar pelo Método da indução matemática
29 dez 2016, 21:20
Prova por indução matemática que \(\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k}(2k+1)=2n,\forall n\in \mathbb{N}\).
Não consigo nem começar (ver anexo)
Podem ajudar-me . Obrigado
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Re: Mostrar pelo Método da indução matemática [resolvida]
30 dez 2016, 00:30
Provar para \(n=1\) que a premissa é verdadeira:
\(\sum_{k=1}^{2}(-1)^k(2k+1)=-1\cdot (2\cdot 1+1)+1\cdot (4+1)=2\)
Método de indução. Para \(n=n+1\) o somatório é igual a \(2(n+1)=2n+2\)
\(\sum_{k=1}^{2n+2}(-1)^{k}(2k+1)=\sum_{k=1}^{2n}\left ((-1)^{k}(2k+1) \right )+ \sum_{k=1}^{2}\left ((-1)^{k}(2k+1) \right )=2n+2\)
Note-se que o primeiro somatório é igual a 2n por hipótese de indução, e o segundo é 2 para quando o n=1 e daí o resultado 2n+2.
\(\sum_{k=1}^{2}(-1)^k(2k+1)=-1\cdot (2\cdot 1+1)+1\cdot (4+1)=2\)
Método de indução. Para \(n=n+1\) o somatório é igual a \(2(n+1)=2n+2\)
\(\sum_{k=1}^{2n+2}(-1)^{k}(2k+1)=\sum_{k=1}^{2n}\left ((-1)^{k}(2k+1) \right )+ \sum_{k=1}^{2}\left ((-1)^{k}(2k+1) \right )=2n+2\)
Note-se que o primeiro somatório é igual a 2n por hipótese de indução, e o segundo é 2 para quando o n=1 e daí o resultado 2n+2.