Momento de inércia | y^2+x^2<1 e 0<x<y e x+y>1

[Nataniel]

Eu fiz uma prova de Recurso de Análise Matemática II, na qual continham 5 questões, cada valendo 5 valores, tenho certeza que fiz bem a prova mas tive 6valores, que por incrível que parece coincide com a nota do exame, pedi uma autorização para asssistir a correção da minha prova, provavelmente será na 2ª feira...
Uma das questões foi idêntica à questão que postei nessa mesma área no tópico "Problemas de Análise matemática 2", a dica do nosso colega "jfolpf" me foi muito útil para acertar!

Gostaria que a galera tentasse confirmar um resultado de um dos meus cálculos:
"Calcule o momento de inércia em relação à origem de uma placa uniforme, de massa M e tal que
meu resultado foi: I=0
Desculpem ter usado imagem novamente, mas não consegui escrever a conjunção "e" matematicamente

[josesousa]

Caríssimo, sob pena de ser um trabalho demasiado grande para nós, diga como resolveu e podemos esclarecer se está certo.

[josesousa]

Já agora, facilmente vemos que I nunca pode ser igual a zero. Basta considerar que tem uma distribuição de massa fora da origem. Desta forma, o integral de algo positivo nunca poderá ser zero.

\(\iint \ _D \,{x^2+y^2} \ dx dy\)

Tem é que saber a região de integração para definir D

[João P. Ferreira]

Caro Nataniel

A fórmula para o momento de inercia é esta:

\(I = \int_V \rho(\mathbf{r})\,d(\mathbf{r})^2 \, \mathrm{d}V\!(\mathbf{r})\)

Como já disse o caro José Sousa, \(d(\mathbf{r})^2=x^2+y^2\), pois trata-se do momento de inércia em torno do eixo das origens das coordenadas, e como a densidade do objeto é constante, ou seja uniforme, consideramos \(\rho(\mathbf{r})=\rho\), ficamos então com:

\(I = \int_V \rho(x^2+y^2) \, \mathrm{d}V\!(\mathbf{r})\)

Repara que a zona a cinzento na figura é a zona que refere no enunciado, e que o ponto da interseção das duas retas, é quando \(y=x\) e \(y=-x+1\) ou seja é quando \(x=-x+1\) ou seja \(x=\frac{1}{2}\)

Agora pode usar coordenadas cartesianas, ou coordenadas polares para calcular, presumo que com coordenadas polares seja mais fácil

No caso de usar coordenadas cartesianas verá que o momento é:

\(I=\rho\int_{0}^{1/2} \int_{-x+1}^{\sqrt{1-x^2}}(x^2+y^2) dydx + \rho\int_{1/2}^{1/\sqrt{2}} \int_{x}^{\sqrt{1-x^2}}(x^2+y^2) dydx\)

Agora é só resolver estes integrais...

Boa sorte

Anexos

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[Nataniel]

Obrigado pela ajuda de vcs !
Dá pra ver que tenho muitos problemas em integração e áreas...
Terei que estudar muito!

[João P. Ferreira]

Estude bastante meu caro, e se tiver dúvidas, passe por aqui

Cumprimentos de Lisboa

[Nataniel]

Já agora têm alguma bibliografia boa a sugerir iniciantes como eu???

[João P. Ferreira]

Meu caro, recomendo-lhe que comece com as Primitivas e Integrais

Sugiro-lhe veementemente um destes dois livros:

http://www.bertrand.pt/ficha/primitivas-e-integrais?id=187176

http://www.bertrand.pt/ficha/sebenta-de-matematicas-gerais-primitivas-e-integrais?id=36416

Cumprimentos

[Nataniel]

Ok! Obrigado pela indicação!

[João P. Ferreira]

De nada meu caro

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