demonstração envolvendo mdc e mmc de polinômios

[dibasi]

Se f(x), g(x) ∈ F[x] são polinômios não-nulos tais que mdc(f(x), g(x)) =d(x) e mmc(f(x), g(x)) = m(x), mostre que gr(d(x))+gr(m(x)) =gr(f(x))+gr(g(x)).
gr=grau. Preciso muito dessa demonstração e agradeço quem me apresentar uma dica ou a solução.

[Rui Carpentier]

Dica:
Comece por mostrar que
1) d(x)m(x)=f(x)g(x) (pode fazer-lo verificando que f(x)g(x)/d(x) é múltiplo comum de f e g, logo \(f(x)g(x)\ge d(x)m(x)\), e que f(x)g(x)/m(x) é divisor comum de f e g, logo \(f(x)g(x)\le d(x)m(x)\));
e em seguida mostre que
2) gr(f(x)g(x))=gr(f(x))+gr(g(x));
depois é fácil concluir.

[dibasi]

Muito bom.
Só que eu não entendo como vou saber o grau desses polinômios e aplicar na igualdade

[Rui Carpentier]

Muito bom.
Só que eu não entendo como vou saber o grau desses polinômios e aplicar na igualdade

Mas para quê que precisa de saber o grau desses polinómios?
Se d(x)m(x)=f(x)g(x) e o grau de um produto de polinómios não-nulos for igual à soma dos graus desses polinómios então:
gr(d(x))+gr(m(x))=gr(d(x)m(x))=gr(f(x)g(x))=gr(f(x))+gr(g(x)).

[dibasi]

Agora entendi o raciocínio.
Obrigado.