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MensagemEnviado: 06 jan 2018, 15:17 
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Como se encontram as raízes do polinômio 3x⁴-4x³-12x²+8?


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MensagemEnviado: 06 jan 2018, 20:30 
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Fernando,
acredito que algo esteja errado com o polinômio em questão, pois, uma propriedade dos polinômios diz que o termo independente é múltiplo de pelo menos uma das raízes, mas, já verifiquei as raízes possíveis pelos divisores racionais de 8 e 3, e nenhum é raiz deste polinômio:
\(P(x)=3x^4-4x^3-12x^2+8\)

uma hipótese é aceitar que:
\(R(x)=8x\)
daí verifica-se que:
\(P(x)=D(x).Q(x)+R(x)
P(x)=x^2.(3x^2-4x-12)+8x\)

\(D(x)=x^2
x=0\)

\(Q(x)=3x^2-4x-12
x=\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{3}\)

\(R(x)=8x
x=0\)

Solução hipotética:
\(S=\left \{ 0,0,\frac{2-2\sqrt{5}}{3},\frac{2+2\sqrt{5}}{3} \right \}\)

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MensagemEnviado: 08 jan 2018, 03:12 
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Boa noite!

Para os colegas Fernando e JorgeLuis, há um método chamado método de ferrari que calcula raízes de equações de quarto grau. Acredite, não é um método trivial.
Pelo WolframAlpha há 4 raízes: 2 reais e 2 complexas (complexos conjugados).
As raízes reais são (aproximadamente) 0,77563 e 2,68252 e as raízes complexas são -1,06377-0,38569i e -1,06377+0,38569i.

Para obter essas raízes o trabalho é 'hercúleo'. Vou anexas as raízes exatas (também obtidas pelo WolframAlpha) aqui.
Anexo:
Wolfram-Alpha-Raízes.png
Wolfram-Alpha-Raízes.png [ 39.91 KiB | Visualizado 667 vezes ]


Agora poderia mostrar um método para obter as raízes chamado método de Newton-Raphson. É um método iterativo para obter raízes aproximadas. Serve não só para equações do 3 e 4 graus mas
também para toda e qualquer equação (derivável).
A função é \(f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+8\)
Sua derivada é \(f'(x)=12x^3-12x^2-24x\)

A função iterativa:
\(\phi(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}\\\phi(x)=x-\dfrac{3x^4-4x^3-12x^2+8}{12x^3-12x^2-24x}\)

A tabela abaixo tem os valores das iterações para obtermos as duas raízes:
A primeira raiz:
\(\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
n&x&f(x)&f'(x)&\phi(x)\\
\hline
0&1,00000000&-5,00000000&-24,00000000&0,79166667\\
1&0,79166667&-0,32710323&-20,56684028&0,77576227\\
2&0,77576227&-0,00260677&-20,23766873&0,77563346\\
3&0,77563346&-0,00000017&-20,23496953&0,77563345\\
4&0,77563345&0,00000000&-20,23496935&0,77563345
\end{tabular}\)

A segunda raiz:
\(\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
n&x&f(x)&f'(x)&\phi(x)\\
\hline
0&3,00000000&35,00000000&144,00000000&2,75694444\\
1&2,75694444&6,28565425&94,08232462&2,69013429\\
2&2,69013429&0,40083256&82,21120001&2,68525865\\
3&2,68525865&0,00204066&81,37478812&2,68523357\\
4&2,68523357&0,00000005&81,37049655&2,68523357\\
5&2,68523357&0,00000000&81,37049644&2,68523357
\end{tabular}\)

Bom, espero ter ajudado! :)

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MensagemEnviado: 08 jan 2018, 15:36 
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Baltuilhe,
no método Newton-Raphson como faço para obter as raízes imaginárias?
o método de ferrari achei mais complexo e traballhoso.

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MensagemEnviado: 08 jan 2018, 17:51 
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Boa tarde!

JorgeLuis, há o método de Newton-Bairstow. Confesso que não sei utlizar muito bem. Vou tentar 'melhorar' para aplicar aqui pra você. Caso queira já corrrer atrás, fique à vontade :)

Abraços!

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