Relação entre angulos de circunferencias
14 fev 2018, 19:07
Olá amigos.
Imagine que temos uma circunferência dentro de outra circunferência com centros deslocados. Se eu traçar um ângulo qualquer na circunferência interna, qual será o ângulo correspondente, na circunferência mais externa?
Para ajudar a visualizar o problema e a encontrar uma fórmula para a resolução, deixe-me propor valores:
A circunferência interna possui diâmetro 10mm.
A circunferência externa possui diâmetro 30mm.
A circunferência interna está com seu centro deslocado em 10mm, sobre o eixo X, em relação ao centro da circunferência mais externa.
Traçando um ângulo de 45º na circunferência interna, qual será o ângulo formado se projetar a reta dos 45º da circunferência interna na circunferência mais externa? (resposta: o ângulo projetado, segundo o software autocad, é de 73º mas como posso encontrar isso calculando? Quais as fórmulas? Não consigo encontrar
)
Anexei uma imagem a respeito deste problema para ajudar a entender melhor do que se trata.
Muito obrigado.
Imagine que temos uma circunferência dentro de outra circunferência com centros deslocados. Se eu traçar um ângulo qualquer na circunferência interna, qual será o ângulo correspondente, na circunferência mais externa?
Para ajudar a visualizar o problema e a encontrar uma fórmula para a resolução, deixe-me propor valores:
A circunferência interna possui diâmetro 10mm.
A circunferência externa possui diâmetro 30mm.
A circunferência interna está com seu centro deslocado em 10mm, sobre o eixo X, em relação ao centro da circunferência mais externa.
Traçando um ângulo de 45º na circunferência interna, qual será o ângulo formado se projetar a reta dos 45º da circunferência interna na circunferência mais externa? (resposta: o ângulo projetado, segundo o software autocad, é de 73º mas como posso encontrar isso calculando? Quais as fórmulas? Não consigo encontrar
)Anexei uma imagem a respeito deste problema para ajudar a entender melhor do que se trata.
Muito obrigado.
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Re: Relação entre angulos de circunferencias
14 fev 2018, 22:44
Boa tarde!
No triângulo formado pelos segmentos d, R e os ângulos internos \(\alpha\) e \(\theta-\alpha\) podemos usar lei dos senos:
\(\dfrac{R}{\sin\alpha}=\dfrac{d}{\sin\left(\theta-\alpha\right)}\)
Substituindo com os seus dados:
\(\alpha=45^{\circ}\\
R=15\\
d=10\)
Então:
\(\dfrac{15}{\sin 45^{\circ}}=\dfrac{10}{\sin\left(\theta-45^{\circ}\right)}\\
\sin\left(\theta-45^{\circ}\right)=\dfrac{10\sin 45^{\circ}}{15}\\
\sin\left(\theta-45^{\circ}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\\
\theta-45^{\circ}\approx 28,13^{\circ}\\
\theta\approx 28,13^{\circ}+45^{\circ}\\
\theta\approx 73,13^{\circ}\)
Blz?
Espero ter ajudado!
No triângulo formado pelos segmentos d, R e os ângulos internos \(\alpha\) e \(\theta-\alpha\) podemos usar lei dos senos:
\(\dfrac{R}{\sin\alpha}=\dfrac{d}{\sin\left(\theta-\alpha\right)}\)
Substituindo com os seus dados:
\(\alpha=45^{\circ}\\
R=15\\
d=10\)
Então:
\(\dfrac{15}{\sin 45^{\circ}}=\dfrac{10}{\sin\left(\theta-45^{\circ}\right)}\\
\sin\left(\theta-45^{\circ}\right)=\dfrac{10\sin 45^{\circ}}{15}\\
\sin\left(\theta-45^{\circ}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\\
\theta-45^{\circ}\approx 28,13^{\circ}\\
\theta\approx 28,13^{\circ}+45^{\circ}\\
\theta\approx 73,13^{\circ}\)
Blz?
Espero ter ajudado!
Re: Relação entre angulos de circunferencias
15 fev 2018, 00:59
Obrigado pela rápida resposta.
Só não entendi como √2/3 foi convertido pra 28.13º.
√2/3 = 0.471404.
Arcsin(0.471404) = 0.4908 que é muito diferente de 28.13º então não pode ter sido arcoseno...
0.471404 * 180 / PI (conversão de radiano pra graus dá 27.009, também diferente de 28.13º então também não é isso).
Por favor, como chegou a isso então?
Só não entendi como √2/3 foi convertido pra 28.13º.
√2/3 = 0.471404.
Arcsin(0.471404) = 0.4908 que é muito diferente de 28.13º então não pode ter sido arcoseno...
0.471404 * 180 / PI (conversão de radiano pra graus dá 27.009, também diferente de 28.13º então também não é isso).
Por favor, como chegou a isso então?
Re: Relação entre angulos de circunferencias
15 fev 2018, 01:10
Talvez eu tenha entendido:
√2 / 3 = 0,47140452079103168293389624140323
arcsin(0,47140452079103168293389624140323) = 0,490882678289311
0.490882678289311 * 180 / ∏ (conversão de radianos pra graus) = 28,125505702055684973167345635794 que é, arredondando, 28,13º.
É isso mesmo?
√2 / 3 = 0,47140452079103168293389624140323
arcsin(0,47140452079103168293389624140323) = 0,490882678289311
0.490882678289311 * 180 / ∏ (conversão de radianos pra graus) = 28,125505702055684973167345635794 que é, arredondando, 28,13º.
É isso mesmo?
Re: Relação entre angulos de circunferencias
15 fev 2018, 01:16
Boa noite!
Deixei a operação só para ficar um número mais 'bonitinho'.
Sua calculadora (ou onde está fazendo a conta), está retornando os valores em radianos, não em graus. Por isso está dando esses erros de 'arredondamento'.
É calculadora?
Sds.
Deixei a operação só para ficar um número mais 'bonitinho'.
Sua calculadora (ou onde está fazendo a conta), está retornando os valores em radianos, não em graus. Por isso está dando esses erros de 'arredondamento'.
É calculadora?
Sds.
Re: Relação entre angulos de circunferencias
15 fev 2018, 13:12
Na verdade os testes dos cálculos fiz no delphi (programa pascal)...
Mas então os passos que descrevi estão corretos, é aquilo mesmo?
Mas cara vc matou a charada, era isso mesmo, verifiquei com alguns ângulos no autocad e sua fórmula dá certinho os valores! Parabéns
Mas então os passos que descrevi estão corretos, é aquilo mesmo?
Mas cara vc matou a charada, era isso mesmo, verifiquei com alguns ângulos no autocad e sua fórmula dá certinho os valores! Parabéns