Para já, vou só abordar parte do problema. Vou deixar por resolver o problema de calcular as coordenadas dos vértices da placa, mas vou apresentar uma possível abordagem para, uma vez calculadas as coordenadas dos vértices, calcular as coordenadas de qualquer outro ponto da placa (sabendo as suas coordenadas numa posição padrão). Sejam \(a\) e \(c\) as dimensões da placa (altura e comprimento). Consideremos como posição padrão a posição em que os vértices da placa são (0,0), (c,0), (0,a) e (c,a). Seja (x,y) as coordenadas de um ponto P da placa nessa posição. Se soubermos as coordenadas dos vértices da placa numa nova posição: \((0,0)\mapsto (x_1,y_1)\), \((c,0)\mapsto (x_2,y_2)\), \((0,a)\mapsto (x_3,y_3)\) e \((c,a)\mapsto (x_4,y_4)\) então conseguimos determinar as coordernadas de P na nova posição (\((x,y)\mapsto (x',y')\)) à custa de \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\) e \((x_3,y_3)\) (\((x_4,y_4)\) não é necessário). Isto porque uma deslocação da placa é uma transformação afim e portanto a imagem de uma combinação afim de pontos é a combinação afim da imagem desses pontos com os mesmos coeficientes. Ou seja, como \((x,y)=\frac{x}{c}(c,0)+\frac{y}{a}(0,a)+\left(1-\frac{x}{c}-\frac{y}{a}\right)(0,0)\) temos que \((x',y')=\frac{x}{c}(x_2,y_2)+\frac{y}{a}(x_3,y_3)+\left(1-\frac{x}{c}-\frac{y}{a}\right)(x_1,y_1)\). Creio que este é o método computacionalmente mais simples de determinar (x',y') em função de (x,y), mas exige o conhecimento extra das coordenadas em três pontos base. No entanto, para determinar a transformação euclidiana que define o deslocamento da placa basta conhecer as coordenadas de apenas dois pontos base, mas os cálculos tornam-se bastante mais complicados (não creio que compense). Quanto ao problema de determinar as coordenadas dos vértices da placa já é um problema mais interdisciplinar com várias possíveis abordagens. Talvez um sensor óptico que faça varrimentos horizontais e verticais em umas quantas retas pré-definidas de modo a determinar as coordenadas onde começa e onde acabe a placa. Sabendo as coordenadas de alguns pontos fronteiros, podemos, em teoria, determinar as equações das retas definidas pelos lados da placa e os vértices da placa serão os pontos e interseção dessas retas. Mas terei de pensar um pouco mais no assunto.
|